用平行于棱錐底面的平面去截棱錐,則截面與底面之間的部分叫棱臺(tái).如圖,在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,下底ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,上底A1B1C1D1是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(Ⅰ)求證:B1B∥平面D1AC;
(II)求平面B1AD1與平面CAD1夾角的余弦值.
分析:(Ⅰ)建立空間直角坐標(biāo)系,證明
D1E
=
B1B
,可得B1B∥D1E,利用線面平行的判定,可得B1B∥平面D1AC;
(II)求得平面B1AD1、平面D1AC的一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式,即可求平面B1AD1與平面CAD1夾角的余弦值.
解答:(Ⅰ)證明:以D為原點(diǎn),以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖,則有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).…(3分)
設(shè)AC∩BD=E,連接D1E,則有E(1,1,0),
D1E
=
B1B
=(1,1,-2),所以B1B∥D1E,
∵B1B?平面D1AC,D1E?平面D1AC
∴B1B∥平面D1AC;…(6分)
(II)解:
D1B1
=(1,1,0),
D1A
=(2,0,-2)

設(shè)
n
=(x,y,z)
為平面B1AD1的法向量,則
n
B1D1
=0
n
D1A
=0
,即
x+y=0
2x-2z=0
,
于是可取
n
=(1,-1,1)
…(8分)
同理可以求得平面D1AC的一個(gè)法向量
m
=(1,1,1)
,…(10分)
∴cos<
m
,
n
>=
m
n
|
m
||
n
|
=
1
3

∴平面B1AD1與平面CAD1夾角的余弦值為
1
3
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了線面平行的判定,考查二面角平面角,考查利用向量方法解決立體幾何問(wèn)題,屬于中檔題.
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用平行于棱錐底面的平面去截棱錐,則截面與底面之間的部分叫棱臺(tái)。

如圖,在四棱臺(tái)中,下底是邊長(zhǎng)為的正方形,上底是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱⊥平面,.

(Ⅰ)求證:平面

(Ⅱ)求平面與平面夾角的余弦值.

 

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(Ⅰ)求證:平面;

(II)求平面與平面夾角的余弦值.

 

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