精英家教網(wǎng)如圖:在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,DD1垂直底面,且DD1=2,底面四邊形ABCD與A1B1C1D1分別為邊長2和1的正方形.
(1)求直線DB1與BC1夾角的余弦值;
(2)求二面角A-BB1-C的余弦值.
分析:(1)以D為坐標原點,以DA,DB,DC為x軸y軸z軸建立空間直角坐標系,利用
DB1
BC1
的夾角余弦值求直線DB1與BC1夾角的余弦值.
(2)直線DB是直線B1B在平面ABCD上的射影則AC⊥DB,根據(jù)三垂線定理,有AC⊥B1B.過點A在平面ABB1A1內(nèi)作AM⊥B1B于M,連接MC,MO,由△AMB≌△CMB,得CM⊥BB1,∠AMC是二面角A-B1B-C的一個平面角,在三角形AMC中求出此角即可
解答:解:(1)以D為坐標原點,以DA,DB,DC為x軸y軸z軸建立空間直角坐標系.如圖①
精英家教網(wǎng)
則各點坐標D(0,0,0),B(2,2,0),B1(1,1,2),C1(0,1,2)
DB1
=(1,1,2),
BC1
=(-2.-1,2)
設(shè)
DB1
,
BC1
的夾角為θ,則cosθ=
|
DB1
BC1|
|DB1|×|
BC1|
=
1
6
×
9
=
54
54 

直線DB1與BC1夾角的余弦值為
54
54

(2)如圖②
精英家教網(wǎng)
∵直線DB是直線B1B在平面ABCD上的射影,AC⊥DB,
根據(jù)三垂線定理,有AC⊥B1B.
過點A在平面ABB1A1內(nèi)作AM⊥B1B于M,連接MC,MO,
由△AMB≌△CMB,得CM⊥BB1
所以,∠AMC是二面角A-B1B-C的一個平面角.
根據(jù)勾股定理,有 A1A=
5
,C1C=
5
,B1B=
6

∵OM⊥B1B,有 OM=
B1O?OB
B1B
=
2
3
,
BM=
2
3
,AM=
10
3
,CM=
10
3

cos∠AMC=
AM2+CM2-AC2
2AM?CM
=-
1
5
點評:本小題主要考查直線與直線的夾角、二面角及其平面角等有關(guān)知識,考查空間想象能力和思維能力,屬于中檔題
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,下底ABCD是邊長為2的正方形,上底A1B1C1D1是邊長為1的正方形,側(cè)棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(1)求證:B1B∥平面D1AC;
(2)求證:平面D1AC⊥平面B1BDD1

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(Ⅰ)證明:AA1⊥BD;
(Ⅱ)證明:CC1∥平面A1BD.

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(2009•聊城一模)如圖,在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,下底ABCD是邊長為2的正方形,上底A1B1C1D1是邊長為1的正方形,側(cè)棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(Ⅰ)求證:B1B∥平面D1AC;
(Ⅱ)求二面角B1-AD1-C的余弦值.

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用平行于棱錐底面的平面去截棱錐,則截面與底面之間的部分叫棱臺.如圖,在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,下底ABCD是邊長為2的正方形,上底A1B1C1D1是邊長為1的正方形,側(cè)棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(Ⅰ)求證:B1B∥平面D1AC;
(II)求平面B1AD1與平面CAD1夾角的余弦值.

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