Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E為BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B重合），作EF⊥AB于F，F(xiàn)E的延長線交DC的延長線于點(diǎn)G，設(shè)BE=x，△DEF的面積為S．
（1）求證：△BEF∽△CEG；
（2）求用x表示S的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

（1）證明：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴EF⊥DG．∴∠BFG=∠G=90°．
又∵∠BEF=∠CEG，∴△BEF∽△CEG；
（2）由（1）得DG為△DEF中EF邊上的高，設(shè)BE=x，
在Rt△BFE中，∠B=60°，EF=BEsinB=

3

2

x．
在Rt△CEG中，CE=3-x，GC=(3-x)cos60°=

3-x

2

，∴DG=DC+GC=

11-x

2

，
∴S=

1

2

EF•DG=-

3

8

x2+

11 3

8

x，（其中0＜x≤3）；
（3）∵a=-

3

8

＜0，對稱軸x=

11

2

＞3，∴當(dāng)0＜x≤3時(shí)，S隨x的增大而增大，
所以，當(dāng)x=3時(shí)，即E與C重合時(shí)，取最大值：Smax=3

3

．