Question

【題目】如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A(yíng)，B的點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F(xiàn) 分別是PC，PB的中點(diǎn)，記平面AEF與平面ABC的交線(xiàn)為直線(xiàn)l．
（Ⅰ）求證：直線(xiàn)l⊥平面PAC；
（Ⅱ）直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)Q，使直線(xiàn)PQ分別與平面AEF、直線(xiàn)EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，∴BC∥EF， 又EF平面EFA，BC不包含于平面EFA，
∴BC∥面EFA，
又BC面ABC，面EFA∩面ABC=l，
∴BC∥l，
又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，
面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，
∴l(xiāng)⊥面PAC．
（Ⅱ））解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，
過(guò)C垂直于面ABC的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0， ），
E（ ），F(xiàn)（ ），
， ，
設(shè)Q（2，y，0），面AEF的法向量為 ，
則 ，
取z= ，得 ， ，
|cos＜ ＞|= = ，
|cos＜ ＞|= = ，
依題意，得|cos＜ ＞|=|cos＜ ＞|，
∴y=±1．
∴直線(xiàn)l上存在點(diǎn)Q，使直線(xiàn)PQ分別與平面AEF、直線(xiàn)EF所成的角互余，|AQ|=1．

【解析】（Ⅰ）利用三角形中位線(xiàn)定理推導(dǎo)出BC∥面EFA，從而得到BC∥l，再由已知條件推導(dǎo)出BC⊥面PAC，由此證明l⊥面PAC．（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，過(guò)C垂直于面ABC的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線(xiàn)l上存在點(diǎn)Q，使直線(xiàn)PQ分別與平面AEF、直線(xiàn)EF所成的角互余，|AQ|=1．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直才能正確解答此題．