【題目】把半橢圓（x≥0）與圓弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）合成的曲線稱作“曲圓”，其中F（c，0）為半橢圓的右焦點(diǎn)．如圖，A1，A2，B1，B2分別是“曲圓”與x軸、y軸的交點(diǎn)，已知∠B1FB2=，扇形FB1A1B2的面積為．

（1）求a，c的值；

（2）過點(diǎn)F且傾斜角為θ的直線交“曲圓”于P，Q兩點(diǎn)，試將△A1PQ的周長(zhǎng)L表示為θ的函數(shù)；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)△A1PQ的周長(zhǎng)L取得最大值時(shí)，試探究△A1PQ的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)求出面積的取值范圍．

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【答案】（1）a=2，c=1；（2）見解析；（3） .

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)有，根據(jù)扇形面積公式及面積列方程可求得的值.利用可求得的值（2）由（1）的結(jié)論求得橢圓的方程和圓的方程.對(duì)分成三類，利用橢圓的定義和解等腰三角形求得三角形的周長(zhǎng).（3）由（2）的分析可知，三角形面積取得最大值時(shí)，在半橢圓上.利用弦長(zhǎng)公式求得的長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離，列出三角形面積的表達(dá)式，利用換元法求得面積的取值范圍.

（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)有，根據(jù)扇形面積公式得，由于，故.

（2）由（1）知，故半橢圓方程為，圓弧的方程為.且恰好是橢圓的左焦點(diǎn).顯然直線的斜率不能為，故設(shè)的方程為.①當(dāng)時(shí)，分別在圓弧和半橢圓上，為腰為的當(dāng)腰三角形，，故的周長(zhǎng)

②當(dāng)時(shí)，分別圓弧和半橢圓上，同理①可求得的周長(zhǎng).

③當(dāng)時(shí)，都在半橢圓上，此時(shí)的周長(zhǎng).

（3）由（2）知，當(dāng)都在半橢圓上時(shí)，的周長(zhǎng)取得最大值.將直線的方程代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得，所以，由弦長(zhǎng)公式得，點(diǎn)到直線的距離，故三角形的面積，令，，，而在上遞增，故，所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校的平面示意圖為如下圖五邊形區(qū)域ABCDE，其中三角形區(qū)域ABE為生活區(qū)，四邊形區(qū)域BCDE為教學(xué)區(qū)，AB，BC，CD，DE，EA，BE為學(xué)校的主要道路（不考慮寬度）. ， ．
（1）求道路BE的長(zhǎng)度；
（2）求生活區(qū)△ABE面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F(xiàn) 分別是PC，PB的中點(diǎn)，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l．
（Ⅰ）求證：直線l⊥平面PAC；
（Ⅱ）直線l上是否存在點(diǎn)Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】 已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2的圖象經(jīng)過點(diǎn)M（1，4），曲線在點(diǎn)M處的切線恰好與直線x+9y﹣3=0垂直．

（1）求實(shí)數(shù)a、b的值

（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣2a|+|x+ |
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）＞4的解集；
（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2 對(duì)任意實(shí)數(shù)x及a恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解某社區(qū)居民有無收看“奧運(yùn)會(huì)開幕式”，某記者分別從某社區(qū)60～70歲，40～50歲，20～30歲的三個(gè)年齡段中的160人，240人，x人中，采用分層抽樣的方法共抽查了30人進(jìn)行調(diào)查，若在60～70歲這個(gè)年齡段中抽查了8人，那么x為(　　) ．

A. 90 B. 120 C. 180 D. 200

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)從某高中隨機(jī)抽取部分高二學(xué)生,調(diào)査其到校所需的時(shí)間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中到校所需時(shí)間的范圍是,樣本數(shù)據(jù)分組為.

(1)求直方圖中的值；

(2)如果學(xué)生到校所需時(shí)間不少于1小時(shí),則可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿.若該校錄取1200名新生,請(qǐng)估計(jì)高二新生中有多少人可以申請(qǐng)住宿；

(3)以直方圖中的頻率作為概率,現(xiàn)從該學(xué)校的高二新生中任選4名學(xué)生,用表示所選4名學(xué)生中“到校所需時(shí)間少于40分鐘”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我們常常稱恒成立不等式（，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)為“靈魂不等式”，它在處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中常常發(fā)揮重要作用.

（1）試證明這個(gè)不等式；

（2）設(shè)函數(shù)，且在定義域內(nèi)恒有，求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：y2=2x，過點(diǎn)（2，0）的直線l交C與A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓．
（Ⅰ）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；
（Ⅱ）設(shè)圓M過點(diǎn)P（4，﹣2），求直線l與圓M的方程．

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