Question

【題目】（本小題共分）

若或，則稱為和的一個位排列，對于，將排列記為，將排列記為，依此類推，直至，對于排列和，它們對應位置數(shù)字相同的個數(shù)減去對應位置數(shù)字不同的數(shù)，叫做和的相關值，記作，例如，則，，若，則稱為最佳排列．

（Ⅰ）寫出所有的最佳排列．

（Ⅱ）證明：不存在最佳排列．

（Ⅲ）若某個（是正整數(shù)）為最佳排列，求排列中的個數(shù)．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)最佳排列的定義可得，最佳排列為、、、、、；（Ⅱ）由，可得，，，，之中有個，個，而經(jīng)過奇數(shù)次數(shù)碼改變不能回到自身，所以不存在，使得；（Ⅲ）與每個人有個對應位置數(shù)碼相同，有個對應位置數(shù)碼不同，設， ，中有個，個，則，可得，解得或，從而得出結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）最佳排列為、、、、、．

（Ⅱ）設，則，

因為，

所以，，，，之中有個，個，

按的順序研究數(shù)碼變化，

有上述分析可知由次數(shù)碼不發(fā)生改變，有次數(shù)碼發(fā)生了改變，

但是經(jīng)過奇數(shù)次數(shù)碼改變不能回到自身，

所以不存在，

使得，

從而不存在最佳排列．

（Ⅲ）由或，，，，

得，，，

，

，

以上各式求和得，，

另一方面，還可以這樣求和：設， ，中有個，個，

則，

所以，

得或，

所以排列中的個數(shù)是或個．