Question

設函數(shù)f（x）=x²+2bx+c，若f（x）=0有兩個根x₁、x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]．
（1）求b，c滿足的約束條件，并在下面的坐標平面內(nèi)畫出滿足這些條件的點（b，c）的區(qū)域；
（2）若令g（x）=bx²+2cx，其中x∈[1，2]，求證：-10≤g(x)≤-

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（-1）≥0，f（0）≤0，f（1）≤0，f（2）≥0，列出線性約束條件，畫出可行域，如圖．
（II） b=0時，g（x）=-2x，由x∈[1，2]，可得-4≤g（x）≤-2．當b≠0時，g（x）圖象為開口向下的拋物線，g（x）在x∈[1，2]上單調遞減，g（x）_min =g（2）=4b+4c，g（x）_max =g（1）=b+2c．根據(jù)線性規(guī)劃
的知識可得，-10≤4b+4c≤-2，-

9

2

≤b+2c≤-

1

2

，從而得到結論成立．

解答：解：（1）x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]．則有f（-1）≥0，f（0）≤0，f（1）≤0，f（2）≥0，故有：

2b-c-1≤0 c≤0 2b+c+1≤0 4b+c+4≥0

如圖中陰影部分，即是滿足這些條件的點（b，c）的區(qū)域．
（II） 由（I）知，當（b，c）=（0，-1），即b=0時，
g（x）=bx²+2cx=-2x，再由x∈[1，2]，
可得-4≤g（x）≤-2．
當b≠0時，g（x）圖象為開口向下的拋物線，
對稱軸為 -

c

b

≤0，
所以g（x）在x∈[1，2]上單調遞減，g（x）_min =g（2）=4b+4c，g（x）_max =g（1）=b+2c．
又由（1）利用線性規(guī)劃的知識可得，-10≤4b+4c≤-2，-

9

2

≤b+2c≤-

1

2

，
∴-10≤g(x)≤-

1

2

．

點評：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系，線性規(guī)劃的知識的應用，體現(xiàn)了分類討論、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．