Question

【題目】水培植物需要一種植物專用營養(yǎng)液．已知每投放a（1≤a≤4且a∈R）個單位的營養(yǎng)液，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時間x（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=af（x），其中f（x）= ，若多次投放，則某一時刻水中的營養(yǎng)液濃度為每次投放的營養(yǎng)液在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中營養(yǎng)液的濃度不低于4（克/升）時，它才能有效．
（1）若只投放一次4個單位的營養(yǎng)液，則有效時間可能達(dá)幾天？
（2）若先投放2個單位的營養(yǎng)液，3天后投放b個單位的營養(yǎng)液．要使接下來的2天中，營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效，試求b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：營養(yǎng)液有效則需滿足y≥4，則 或 ，

即為0≤x≤2或2＜x≤4，

解得0≤x≤4，

所以營養(yǎng)液有效時間可達(dá)4天

（2）解：設(shè)第二次投放營養(yǎng)液的持續(xù)時間為x天，

則此時第一次投放營養(yǎng)液的持續(xù)時間為（x+3）天，且0≤x≤2；

設(shè)y1為第一次投放營養(yǎng)液的濃度，y2為第二次投放營養(yǎng)液的濃度，

y為水中的營養(yǎng)液的濃度；

∴y1=2[5﹣（x+3）]=4﹣2x，y2=b ，

y=y1+y2=4﹣2x+b ≥4在[0，2]上恒成立，

∴b≥2x 在[0，2]上恒成立

令t=4+x，t∈[4，6]，則b≥﹣2（t+ ）+24，

又﹣2（t+ ）+24≤24﹣22 =24﹣16 ，

當(dāng)且僅當(dāng)t= ，即t=4 時，取等號；

所以b的最小值為24﹣16 ．

答：要使接下來的2天中，營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效，b的最小值為24﹣16

【解析】（1）營養(yǎng)液有效則需滿足y≥4，由分段函數(shù)，對x討論，解不等式即可得到結(jié)論；（2）設(shè)第二次投放營養(yǎng)液的持續(xù)時間為x天，則此時第一次投放營養(yǎng)液的持續(xù)時間為（x+3）天，且0≤x≤2；設(shè)y1為第一次投放營養(yǎng)液的濃度，y2為第二次投放營養(yǎng)液的濃度，y為水中的營養(yǎng)液的濃度；可得y1=2[5﹣（x+3）]=4﹣2x，y2=b ，y=y1+y2=4﹣2x+b ≥4在[0，2]上恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離和換元法，結(jié)合基本不等式，即可得到b的最小值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用基本不等式在最值問題中的應(yīng)用的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”．