Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+（﹣1）n ，其中n∈N* ， a為常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)n=2，且a＞0時，判斷函數(shù)f（x）是否存在極值，若存在，求出極值點；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）若a=1，對任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥1時，求證：f（x+1）≤x．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知得函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞0}，當(dāng)n=2時，f（x）= +alnx，所以f′（x）= ，
當(dāng)a＞0時，由f′（x）=0，得x1= ＞0，x2=﹣ ＜0，
此時f′（x）= ，
當(dāng)x∈（0，x1）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x1 ， +∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時，f（x）在x1= 處取得極小值，極小值點為 ．
（Ⅱ）證：因為a=1，所以f（x）= +lnx，
當(dāng)n為偶數(shù)時，令g（x）=x﹣ ﹣ln（x+1），
則g′（x）= + ，
∵x≥1，∴g′（x）＞0，
所以當(dāng)x∈[1，+∞）時，g（x）單調(diào)遞增，g（x）的最小值為g（1）．
因此：g（x）=x﹣ ﹣ln（1+x）=≥g（1）=1﹣ ﹣ln（1+1）≥1﹣ ﹣ln2＞0，
所以f（x+1）≤x成立．
當(dāng)n為奇數(shù)時，
要證f（x+1）≤x，由于（﹣1）n ＜0，所以只需證ln（x+1）≤x，令h（x）=x﹣ln（x+1），
則h′（x）=1﹣ = ＞0，
當(dāng)x∈[1，+∞）時，h（x）=x﹣ln（x+1）單調(diào)遞增，又h（1）=1﹣ln2=ln ＞0，
所以當(dāng)x≥1時，恒有h（x）＞0，命題ln（x+1）≤x成立，
綜上所述，結(jié)論成立．
【解析】（Ⅰ）令n=2，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值即可；（Ⅱ）a=1時，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論n是奇數(shù)，偶數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論即可．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)．