Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△ABC為正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PC= AC，平面PAC⊥平面ABCD．

（1）點(diǎn)E在棱PC上，試確定點(diǎn)E的位置，使得PD⊥平面ABE；
（2）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴PA⊥AC，

又∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，

∴PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，AD，AP分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PA=2，則 ，

∵ ，∴PD⊥AB．

設(shè) ，

若AE⊥PD，則 ，即 ，

即﹣4+λ8=0，得 ，即當(dāng)E為PC的中點(diǎn)時(shí)，AE⊥PD，

則PD⊥平面ABE，

∴當(dāng)E為PC的中點(diǎn)時(shí)PD⊥平面ABE

（2）解：設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量 =（x，y，z）， ，

則 且 ，

即 且 ，令 ，則z=2，x=1，則 ，

再取平面PAD的一個(gè)法向量為 =（1，0，0）．

則cos＜ ＞= = ，

故二面角A﹣PD﹣C的余弦值為 ．

【解析】由已知可得PA⊥AC，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得PA⊥AB，PA⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，AD，AP分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）由數(shù)量積為0可得PD⊥AB，設(shè) ，再由 求得λ值，則點(diǎn)E的位置確定；（2）求出平面PCD的一個(gè)法向量，取平面PAD的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能確解答此題．