Question

已知f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）當(dāng)t=5時(shí)，求函數(shù)g（x）圖象過的定點(diǎn)；
（2）當(dāng)0＜a＜1，x∈[1，2]時(shí)，有f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過t=5，化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)經(jīng)過的特殊點(diǎn)求解即可．
（2）當(dāng)0＜a＜1，x∈[1，2]時(shí)，有f（x）≥g（x）恒成立，轉(zhuǎn)化為

x

≤2x+t-2，在x∈[1，2]時(shí)恒成立，通過二次函數(shù)的最值求解實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： （實(shí)驗(yàn)班做）
解：（1）當(dāng)t=5時(shí)，g（x）=2log_a（2x+3）（a＞0，a≠1），x=-1時(shí)，g（-1）=0，
∴g（x）圖象必過定點(diǎn)（-1，0）．
（2）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在某區(qū)間上最值問題．由題意知，

1

2

logax≥loga(2x+t-2)，
在x∈[1，2]時(shí)恒成立，
∵0＜a＜1，∴

x

≤2x+t-2，在x∈[1，2]時(shí)恒成立，
t≥-2x+

x

+2=-2(

x

-

1

4

)2+

17

8

在x∈[1，2]時(shí)恒成立，
∴t≥1．
故實(shí)數(shù)t的取值范圍[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問題，對(duì)數(shù)函數(shù)經(jīng)過的特殊點(diǎn)的求法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．