Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}，若2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，則2a₆+a₅的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，得到a₁（2q+1）=

8

q2-1

，化簡(jiǎn)2a₆+a₅并把上式代入，設(shè)x=

1

q2

，則函數(shù)y=

1

q2

-

1

q4

=x-x²，配方后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，從而求出2a₆+a₅的最小值．

解答： 解：由題意知等比數(shù)列{a_n}中a_n＞0，則公比q＞0，
因?yàn)?a₄+a₃-2a₂-a₁=8，所以2a₁•q³+a₁•q²-2a₁q-a₁=8，
即a₁（2q³+q²-2q-1）=8，則a₁（2q+1）（q²-1）=8，
則a₁（2q+1）=

8

q2-1

，
所以2a₆+a₅=2a₁•q⁵+a₁•q⁴=q⁴•a₁（2q+1）=q⁴•

8

q2-1

=

8

1 q2 - 1 q4

，
設(shè)x=

1

q2

，則x＞0，y=

1

q2

-

1

q4

=x-x²=-（x-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，
所以

1

q2

-

1

q4

取最大值

1

4

時(shí)，

8

1 q2 - 1 q4

取到最小值32，
故答案為：32．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，換元法、構(gòu)造函數(shù)法，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于數(shù)列與函數(shù)結(jié)合較難的題，考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．