Question

【題目】選修4-1：幾何證明選講

已知中,,是外接圓劣弧AC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）,延長至。

（1）求證: 的延長線平分；

（2）若,中邊上的高為,求外接圓的面積。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）要證明AD的延長線平分∠CDE，即證明∠EDF=∠CDF，轉(zhuǎn)化為證明∠ADB=∠CDF，再根據(jù)A，B，C，D四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，和等腰三角形角之間的關(guān)系即可得到．（2）求△ABC外接圓的面積．只需解出圓半徑，故作等腰三角形底邊上的垂直平分線即過圓心，再連接OC，根據(jù)角之間的關(guān)系在三角形內(nèi)即可求得圓半徑，可得到外接圓面積

試題解析：（1）證明:如圖,設(shè)F為AD延長線上一點(diǎn),∵ABCD四點(diǎn)共圓．

∴∠CDF=∠ABC,

又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB,

∴∠ADB=∠CDF,

對頂角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF,

即AD的延長線平分∠CDE,

（2）設(shè)O為外接圓圓心,連接AO并延長交BC于H,

∵△ABO△ACO, ∴∠BAO=∠CAO,

即AO為等腰三角形△ABC中∠BAC的角平分線，則AH⊥BC,

連接OC,由題意∠OAC=∠OCA=15°,∠ACB=75°,

∴∠OCH=60°,

設(shè)半徑為r,則r+得r=1,

∴外接圓面積為π