Question

（1）已知a，b＞0，求證：a（b²+c²）+b（c²+a²）≥4abc．
（2）求證：

3

+

7

＜2

5

．

Answer 1

分析：（1）由b²+c²≥2bc，a＞0，證得 a（b²+c²）≥2abc，同理可證 b（c²+a²）≥2abc，相乘即可得到要證的結(jié)論．
（2）直接法利用分析法進行證明．

解答：證明：（1）∵b²+c²≥2bc，a＞0，∴a（b²+c²）≥2abc．
又∵c²+a²≥2ac，b＞0，∴b（c²+a²）≥2abc．
∴a（b²+c²）+b（c²+a²）≥4abc．
（2）∵

3

+

7

和2

5

都是正數(shù)，
要證

3

+

7

＜2

5

只需證(

3

+

7

)2＜(2

5

)2
整理得：

21

＜5
即證：21＜25
∵21＜25顯然成立
∴原不等式成立

點評：本題（1）考查用綜合法證明不等式，證明a（b²+c²）≥2abc，是解題的關(guān)鍵．（2）考查分析法證明不等式，重視分析法的證明步驟．