Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)，，令，顯然只需研究與0的大小關(guān)系，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，即可求出答案；

（2）由，可得，結(jié)合（1）可知，令，可得，再結(jié)合的關(guān)系式，可得，從而得到，構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，可知時(shí)，，又因?yàn)?/span>，從而可知，即.

（1）由題意，，

令，，

①當(dāng)，且，即時(shí)，，所以在恒成立，故在上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)，，由得，

當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，，.

故在和單調(diào)遞減，

在單調(diào)遞增；

③當(dāng)時(shí)，由得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

④當(dāng)時(shí)，，由得或（不合題意，舍去）.

當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）因?yàn)?/span>，所以.

由（1）得，故只需，即可滿足.

令，則，整理得，即，

所以，

設(shè)，所以，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

又，因?yàn)?/span>，所以，，所以，

所以，即，故，又

所以的取值范圍是.