Question

【題目】已知函數(shù),設(shè),其中,方程和方程根的個數(shù)分別為．

（1）求的值;

（2）證明:.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案見解析

【解析】

（1）因為,令,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.

（2）先得到在上的單調(diào)性和值域,且,再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論,即可求得答案.

（1）當時:

得或

.

（2）

當時,單調(diào)遞增,且;

當時,單調(diào)遞減,且;

下面用數(shù)學(xué)歸納證明:方程,方程,

方程,方程的根的個數(shù)都相等,且為.

①當時,方程,方程,

方程,方程的根的個數(shù)相等,其為,上述命題成立;

②假設(shè)時,方程,方程,

方程,方程根的個數(shù)都相等,且為,

則當時,有,

當時,,方程的根的個數(shù)為,

當時,,方程的根的個數(shù)為

方程的根的個數(shù)為.

同理可證:方程,方程,方程的根的個數(shù)都相等,且為．

由①②可知,命題成立．

又,則,且,

.