Question

【題目】已知是整數(shù)，冪函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù).

(1)求冪函數(shù)的解析式；

(2)作出函數(shù)的大致圖象；

(3)寫出的單調(diào)區(qū)間，并用定義法證明在區(qū)間上的單調(diào)性.

Answer 1

【答案】(1)；(2)圖象見(jiàn)解析；(3)減區(qū)間為；增區(qū)間為，證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)根據(jù)冪函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，可知，解不等式即可.

(2)由(1)可知，則，先畫出的圖象，再將該圖象軸下方的部分翻折到軸上方，即可.

(3)根據(jù)(2)的圖象寫出單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)定義法證明函數(shù)單調(diào)性，即可.

(1)由題意可知，，即

因?yàn)?/span>是整數(shù)，所以或

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

綜上所述，冪函數(shù)的解析式為.

(2) 由(1)可知，則

函數(shù)的圖象，如圖所示：

(3)由(2)可知，減區(qū)間為；增區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，

設(shè)任意的，且

則

又，且

即在區(qū)間上單調(diào)遞增.