【題目】如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點A在PD上的射影為點G,點E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E—PC—A的正弦值.
【答案】(1)見解析.(2)(3).
【解析】
試題解(1)證明:∵CD⊥AD,CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AG,
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD
作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD,
∴EF∥AG
又AG面PEC,EF面PEC,
∴AG∥平面PEC
(2)由(Ⅰ)知A、E、F、G四點共面,又AE∥CD,
∴AE∥平面PCD.
∴AE∥GF.
∴四邊形AEFG為平行四邊形,∴AE=GF.
∵PA=3,AB=4,∴PD=5,AG=,
又PA2=PGPD,∴PG
又,∴,∴
(3)過E作EO⊥AC于點O,易知EO⊥平面PAC,
又EF⊥PC,∴OF⊥PC∴∠EFO即為二面角E—PC—A的平面角
,
又EF=AG
∴
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某賓館在裝修時,為了美觀,欲將客房的窗戶設計成半徑為的圓形,并用四根木條將圓分成如圖所示的9個區(qū)域,其中四邊形為中心在圓心的矩形,現(xiàn)計劃將矩形區(qū)域設計為可推拉的窗口.
(1)若窗口為正方形,且面積大于(木條寬度忽略不計),求四根木條總長的取值范圍;
(2)若四根木條總長為,求窗口面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖為某班35名學生的投籃成績(每人投一次)的條形統(tǒng)計圖,其中上面部分數(shù)據(jù)破損導致數(shù)據(jù)不完全。已知該班學生投籃成績的中位數(shù)是5,則根據(jù)統(tǒng)計圖,則下列說法錯誤的是( )
A. 3球以下(含3球)的人數(shù)為10
B. 4球以下(含4球)的人數(shù)為17
C. 5球以下(含5球)的人數(shù)無法確定
D. 5球的人數(shù)和6球的人數(shù)一樣多
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】橢圓的頂點為,左、右焦點分別為、,過點A且斜率為的直線與y軸交于點P,與橢圓交于另一個點B,且點B在x軸上的射影恰好為點.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)M為橢圓C上一動點,是橢圓C長軸上的一個點,直線MQ與橢圓C的另一個交點為N,令,若t值與點M的位置無關(guān),則稱此時的點Q為“穩(wěn)定點”,試求出所有“穩(wěn)定點”,若沒有,請說明理由.
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