【題目】在四棱錐中,平面,是正三角形,與的交點恰好是中點,又,.
(1)求證:;
(2)設(shè)為的中點,點在線段上,若直線平面,求的長;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)1;(3).
【解析】
(1)利用線面垂直的判定定理,證明BD⊥平面PAC,可得BD⊥PC;(2)取DC中點G,連接FG,證明平面EFG∥平面PAD,可得FG∥平面PAD,證明三角形AMF為直角三角形,即可求AF的長;(3)建立空間直角坐標系,求出平面PAC、平面PBC的法向量,利用向量的夾角公式,即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.
(1)∵是正三角形,是中點,
∴,即.
又∵平面,∴.
又,∴平面.
∴.
(2)取中點,連接,則平面,
又直線平面,EG∩EF=E,所以平面平面,所以
∵為中點,,∴.
∵,,∴,則三角形AMF為直角三角形,又,故
(3)分別以,,為軸,軸,軸建立如圖的空間直角坐標系,
∴,,,.
為平面的法向量.
,.
設(shè)平面的一個法向量為,
則,即,
令,得,,則平面的一個法向量為,
設(shè)二面角的大小為,則.
所以二面角余弦值為.
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【題目】設(shè),。
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論零點的個數(shù);
(3)當時,設(shè)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】設(shè)橢圓C:(a>b>0)的右焦點為F,橢圓C上的兩點A,B關(guān)于原點對稱,且滿足,|FB|≤|FA|≤2|FB|,則橢圓C的離心率的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點,直線,設(shè)圓的半徑為1, 圓心在上.
(1)若圓心也在直線上,過點作圓的切線,求切線方程;
(2)若圓上存在點,使,求圓心的橫坐標的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),m∈R
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若m∈(-1,0),證明:對任意的x1,x2∈[1,1-m],4f(x1)+x2<5.
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【題目】如圖,在多面體中,四邊形為矩形,,均為等邊三角形,,.
(1)過作截面與線段交于點,使得平面,試確定點的位置,并予以證明;
(2)在(1)的條件下,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】己知直線2x﹣y﹣1=0與直線x﹣2y+1=0交于點P.
(Ⅰ)求過點P且平行于直線3x+4y﹣15=0的直線的方程;(結(jié)果寫成直線方程的一般式)
(Ⅱ)求過點P并且在兩坐標軸上截距相等的直線方程(結(jié)果寫成直線方程的一般式)
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【題目】如圖,已知⊙O的直徑AB=3,點C為⊙O上異于A,B的一點,平面ABC,且,點M為線段VB的中點.
(1)求證:平面VAC;
(2)若AB與平面VAC所成角的余弦值為,求二面角的余弦值.
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