Question

【題目】在直角坐標系xoy中，曲線C1上的點均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=﹣2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值．
（1）求曲線C1的方程
（2）設P（x0 ， y0）（y0≠±3）為圓C2外一點，過P作圓C2的兩條切線，分別于曲線C1相交于點A，B和C，D．證明：當P在直線x=﹣4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設M的坐標為（x，y），由已知得|x+2|= 且圓C2上的點位于直線x=﹣2的右側(cè)

∴ =x+5

化簡得曲線C1的方程為y2=20x

（2）

證明：當點P在直線x=﹣4上運動時，P的坐標為（﹣4，y0），

∵y0≠±3，∴過P且與圓C2相切的直線的斜率k存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為

y﹣y0=k（x+4），即kx﹣y+y0+4k=0，

∴ ，整理得 ①

設過P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k1，k2，則k1，k2是方程①的兩個實根

∴ ②

由 ，消元可得 ③

設四點A，B，C，D的縱坐標分別為y1，y2，y3，y4，

∴y1，y2是方程③的兩個實根

∴ ④

同理可得 ⑤

由①②④⑤可得 = =6400

∴當P在直線x=﹣4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值為6400．

【解析】（1）設M的坐標為（x，y），根據(jù)對C1上任意一點M，M到直線x=﹣2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值，可得|x+2|= 且圓C2上的點位于直線x=﹣2的右側(cè)，從而可得曲線C1的方程；（2）當點P在直線x=﹣4上運動時，P的坐標為（﹣4，y0），設切線方程為kx﹣y+y0+4k=0，利用直線與圓相切可得 ，從而可得過P所作的兩條切線PA，PC的斜率k1 ， k2是方程的兩個實根，設四點A，B，C，D的縱坐標分別為y1 ， y2 ， y3 ， y4 ， 從而可得 ；同理可得 ，由此可得當P在直線x=﹣4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值為6400．