設(shè)函數(shù)f(x)=
kx+2
x-1
的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ）若
lim
x→+∞
f(x)=a且f（|t|+2）＜f（4a），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
分析：（1）由于函數(shù)f(x)=
kx+2
x-1
的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱故函數(shù)f(x)=
kx+2
x-1
的反函數(shù)為其本身所以可求出函數(shù)f（x）的反函數(shù)然后令f-1（x）=f（x）即可求出k．
（2）可在（1）的基礎(chǔ)上求出a然后判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性再根據(jù)單調(diào)性解不等式f（|t|+2）＜f（4a）即可．
解答：解：（1）∵y=f(x)=
kx+2
x-1

∴x=
2+y
y-k

∴f-1（x）=
2+x
x-k

∵函數(shù)f(x)=
kx+2
x-1
的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱
∴
2+x
x-k
=
kx+2
x-1

∴k=1
（2）由（1）知k=1∴a=
lim
x→+∞
f(x)=
lim
x→+∞
x+2
x-1
=
lim
x→+∞
1+
2
x
1-
2
x
=1
∵f（|t|+2）＜f（4a）
∴f（|t|+2）＜f（4）
∵f（x）=
x+2
x-1
= 1+
3
x-1
在（1，+∞）單調(diào)遞減且|t|+2≥2＞1，4＞1
∴|t|+2＞4
∴t＞2或t＜-2
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了反函數(shù)的概念和利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式．解題的關(guān)鍵是第一問(wèn)要根據(jù)條件函數(shù)f(x)=
kx+2
x-1
的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱分析出函數(shù)f(x)=
kx+2
x-1
的反函數(shù)仍為其本身而對(duì)于第二問(wèn)先利用極限的四則運(yùn)算法則求出a的值然后可得出|t|+2≥2＞1，4＞1故要判斷f（x）=
x+2
x-1
= 1+
3
x-1
在（1，+∞）上的單調(diào)性然后根據(jù)單調(diào)性和函數(shù)值的大小脫去符號(hào)“f”從而得出t的取值范圍！
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
kx+b
x2+c
（c＞0且c≠1，k＞0）恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，且其中一個(gè)極值點(diǎn)是x=-c
（1）求函數(shù)f（x）的另一個(gè)極值點(diǎn)；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的極大值為M，極小值為m，若M-m≥1對(duì)b∈[1，
3
2
]恒成立，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•西山區(qū)模擬）設(shè)函數(shù)f(x)=
x-[x]，   x≥0
f(x+1)， x＜0
，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[-1.2]=-2，[1.2]=1，[1]=1，若直線y=kx+k（k＞0）與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
x-[x]，x≥0
f(x+1)，x＜0
，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，若直線y=kx+k（k＞0）與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是
[
1
4
，
1
3
）
[
1
4
，
1
3
）
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域D內(nèi)存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．
（1）函數(shù)f(x)=
1
x
是否屬于集合M？說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=kx+b屬于集合M，試求實(shí)數(shù)k和b的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)f(x)=lg
a
x2+1
屬于集合M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案