Question

已知函數(shù)f(x)=

kx+b

x2+c

（c＞0且c≠1，k＞0）恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，且其中一個(gè)極值點(diǎn)是x=-c
（1）求函數(shù)f（x）的另一個(gè)極值點(diǎn)；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的極大值為M，極小值為m，若M-m≥1對b∈[1，

3

2

]恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0得到方程；兩個(gè)極值點(diǎn)是此方程的兩個(gè)根；利用韋達(dá)定理，求出另一個(gè)極值點(diǎn)．
（2）判斷兩個(gè)極值點(diǎn)左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出極大值與極小值，代入已知不等式，解關(guān)于b的一次不等式恒成立，將區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)代入不等式即可．

解答：解：（1）f′(x)=

-kx2-2bx+ck

(x2+c)2

=0時(shí)，x₁•x₂=-c
∵x=-c是其中一個(gè)極值點(diǎn)
∴另一個(gè)極值點(diǎn)為1
（2）由f′(-c)=0得k=

2b

c-1

由（1）可知，f（x）在-∞-c）是減函數(shù)；在（-c，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)
∴M=f(1)=

k+b

1+c

，n=f(-c)=

-kc+b

c2+c

∴M-m=

k+b

1+c

-

-kc+b

c2+c

=

k

2

+

k2

2(k+2b)

≥1對b∈[1，

3

2

]恒成立
即（k-2）b+k²-k≥0對b∈[1，

3

2

]恒成立
∴

k2-k≥2-k k2-k≥(2-k)• 3 2

解得k≥

3

2

點(diǎn)評(píng)：解決函數(shù)的極值問題，要注意極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0；解決一次不等式恒成立只需將區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)代入不等式．