【題目】已知橢圓C的一焦點(diǎn)與的焦點(diǎn)重合,點(diǎn)在橢圓C上.直線l過(guò)點(diǎn)(1,1),且與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).

1)求橢圓C的方程;

2)點(diǎn)M滿足,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),延長(zhǎng)線段OM與橢圓C交于點(diǎn)P,四邊形OAPB能否為平行四邊形?若能,求出此時(shí)直線l的方程,若不能,說(shuō)明理由.

【答案】1y21;(2)能,x13x8y+50

【解析】

1)求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo),即為橢圓一焦點(diǎn),可得的一方程,由已知點(diǎn)在橢圓上又得一個(gè)的方程,聯(lián)立后可解得,得橢圓方程;

2)假設(shè)存在四邊形OAPB為平行四邊形,需要分類討論,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),即x1,可求得點(diǎn)坐標(biāo),得證,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為:ykx+m,顯然k≠0,m≠0,設(shè), Mx0,y0),由直線方程與橢圓方程聯(lián)立,應(yīng)用韋達(dá)定理求得點(diǎn)坐標(biāo),再由平行四邊形得點(diǎn)坐標(biāo),利用直線過(guò)點(diǎn)在橢圓上,可求得(交待此時(shí)直線與橢圓相交),得直線方程.

1的焦點(diǎn)為:(0),由題意得c,點(diǎn)在橢圓C上,

1,又a2b2+c2a24,b21,

所以橢圓C的方程為:y21

2)假設(shè)存在四邊形OAPB為平行四邊形,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),即x1,

A1,),B1,),

則中點(diǎn)M的坐標(biāo)(1,0),

所以P的坐標(biāo)(2,0),這時(shí)1,),

1,),∴,

所以符合題意,這時(shí)直線l的方程:x1,

當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為:ykx+m,顯然k≠0,m≠0,

設(shè), Mx0,y0),

將直線與橢圓聯(lián)立整理得:(4k2+1x2+8kmx+4m240,△>0,

,,

所以M),

四邊形OAPB為平行四邊形時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分,即:xP2x0yP2y0,

,

又直線l過(guò)(1,1),

所以 m1k,兩式聯(lián)立得:km,滿足△>0,符合條件,

所以這時(shí)直線l的方程:yx,即:3x8y+50

綜上所述直線l的方程:x13x8y+50

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7816

6514

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

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②四面體每組對(duì)棱相互垂直

③連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分

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