Question

【題目】是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=cos2x+asinx+ ﹣ 在閉區(qū)間[0，π]的最大值是0？若存在，求出對應(yīng)的a的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】解：∵y=cos2x+asinx+ ﹣ =﹣sin2x+asinx+ ﹣ ， 令sinx=t，t∈[0，1]，
∴f（t）=﹣t2+at+ ﹣ ，對稱軸為t= a，
①當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（t）在[0，1]上是減函數(shù)，
∴f（t）的最大值是g（a）=f（0）= ﹣ =0，解得a= ，不符合題意，
②當(dāng)a≥2時，函數(shù)f（t）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最大值是g（a）=f（1）= ﹣ =0，解得a= ，不符合題意，
③當(dāng)0＜a＜2時，f（x）在x∈[0，1]的最大值是g（ a）=f（ a）= + ﹣ =0，
解得a=﹣4（舍去），或a= ．·
綜上，存在a= 時，函數(shù)在閉區(qū)間[0，π]上的最大值是0
【解析】化簡函數(shù)f（x），令sinx=t，t∈[0，1]，求出f（t）在t∈[0，1]的最大值函數(shù)g（a），再令g（a）=0，求對應(yīng)a的值是否存在即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角函數(shù)的最值的相關(guān)知識，掌握函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值為；當(dāng)時，取得最大值為，則，，．