Question

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若∠PDA=45°，求EF與平面ABCD所成的角的大�。�

Answer 1

分析：（1）取PD中點(diǎn)G，連接AG、FG，利用三角形中位線(xiàn)定理，我們易判斷四邊形AEFG是平行四邊形，AG∥EF，進(jìn)而結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理，我們易得到EF∥平面PAD；
（2）過(guò)G作GH⊥AD，垂足為H，則可得∠GAH為AG與平面ABCD所成的角，即為所求角．

解答：（1）證明：取PD中點(diǎn)G，連接AG、FG，
因?yàn)镋F分別為AB、PC的中點(diǎn)，
所以AE=

1

2

AB，GF∥DC且GF=

1

2

DC，
又在矩形ABCD中AB∥CD且AB=CD，
所以AE∥GF且AE=GF，
所以四邊形AEFG是平行四邊形，
所以AG∥EF且AG=EF
又AG?平面PAD，EF?平面PAD．
所以EF∥平面PAD；
（2）解：∵AG∥EF，
∴AG與平面ABCD所成的角等于EF與平面ABCD所成的角
過(guò)G作GH⊥AD，垂足為H，則GH∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴GH⊥平面ABCD，
∴∠GAH為AG與平面ABCD所成的角，即為所求角，
∵∠PDA=45°，G為PD的中點(diǎn)
∴∠GAH=45°
即EF與平面ABCD所成的角為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面平行的判定，考查線(xiàn)面角，熟練掌握判定定理內(nèi)容、正確找出線(xiàn)面角是關(guān)鍵