Question

【題目】已知函數，其中.

（1）當時，求曲線在點處切線的方程；

（2）當時，求函數的單調區(qū)間；

（3）若，證明對任意，恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在和內是增函數，在內是減函數；（3）見解析

【解析】

（1）當時，求得，進而得到，利用直線的點斜式方程，即可求解；

（2）求得函數的導數，三種情況分類討論，即可求解．

（3）把，轉化為，令，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解．

（1）當時，則函數，

則，則，

曲線在點處切線的方程為，即.

（2）由函數，則，

令，，，又，

①若，，當變化時，，的變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

所以在區(qū)間和內是增函數，在內是減函數.

②若，，當變化時，，的變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

所以在和內是增函數，在內是減函數.

（3）因，所以在內是減函數，又，

不妨設，則，.

于是，等價于，

即，

令，

因在內是減函數，

故，從而在內是減函數，

∴對任意，有，即，

∴當時，對任意，恒成立.