【題目】已知是自然對數(shù)的底數(shù), , , , .
(1)設,求的極值;
(2)設,求證:函數(shù)沒有零點;
(3)若,設,求證: .
【答案】(1);(2)詳見解析;(3)詳見解析.
【解析】試題分析:(1) ,求其導數(shù)并求導數(shù)為0的 值,判斷兩側的單調性求極值;(2) , ,因為 ,所以是減函數(shù),根據導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間和函數(shù)的最大值,判斷其最大值小于0;(3)函數(shù) ,要證明 ,設函數(shù) ,根據導數(shù)判斷函數(shù)的單調性以及函數(shù)的最小值,證明最小值大于0.
試題解析:(1)∵, , ,
∴, ,
∴.
∴,由得.
∵是自然對數(shù)的底數(shù),∴是增函數(shù).
∴當時, ,即是減函數(shù);
當時, ,即是增函數(shù).
∴函數(shù)沒有極大值,只有極小值,且當時, 取得極小值.
∴的極小值為.
(2)∵, ,
∴,∴.
∵,∴是減函數(shù).
由解得.
當時, ,此時函數(shù)是增函數(shù),
當時, ,此時函數(shù)是減函數(shù),
∴當時,函數(shù)取得最大值,最大值為.
∵,∴,∴,
∴當時,函數(shù)沒有零點.
(3)∵, , ,
∴.
∵,∴.
設,則.
設,則.
∵,∴.
又∵當時, ,∴函數(shù)在上是增函數(shù).
∵,∴,即.
又∵, ,
∴當時, ;當時, ,
∴函數(shù)在上是增函數(shù).
∴當時, ,即.
∴當時, .
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知空間三點A(0,2,3),B(﹣2,1,6),C(1,﹣1,5);求:
(1)求以向量 為一組鄰邊的平行四邊形的面積S;
(2)若向量a分別與向量 垂直,且|a|= ,求向量a的坐標.
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【題目】已知函數(shù)f(x)為對數(shù)函數(shù),并且它的圖象經過點(2 , ),g(x)=[f(x)]2﹣2bf(x)+3,其中b∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)y=g(x)在區(qū)間[ ,16]上的最小值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=log2(4x+1)﹣x,g(x)=log2a+log2(2x﹣ )(a>0,x>1).
(1)證明函數(shù)f(x)為偶函數(shù);
(2)若函數(shù)f(x)﹣g(x)只有一個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù) =f(2x)
(1)用定義證明函數(shù)g(x)在(﹣∞,0)上為減函數(shù).
(2)求g(x)在(﹣∞,﹣1]上的最小值.
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【題目】為響應國家“精準扶貧,產業(yè)扶貧”的戰(zhàn)略,某市面向全市征召《扶貧政策》義務宣傳志愿者,從年齡在的500名志愿者中隨機抽取100名,其年齡頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求圖中的值;
(Ⅱ)在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取10名參加中心廣場的宣傳活動,再從這10名志愿者中選取3名擔任主要負責人.記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】某公司生產一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù):R(x)= ,其中x是儀器的月產量.(注:總收益=總成本+利潤)
(1)將利潤x表示為月產量x的函數(shù);
(2)當月產量為何值時,公司所獲利潤最大?最大利潤為多少元?
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,函數(shù)g(x)=b﹣f(2﹣x),其中b∈R,若函數(shù)y=f(x)﹣g(x)恰有4個零點,則b的取值范圍是( )
A.( ,+∞)
B.(﹣∞, )
C.(0, )
D.( ,2)
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【題目】六個面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體.已知在平行四邊形ABCD中(如圖1),有AC2+BD2=2(AB2+AD2),則在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中(如圖2),AC12+BD12+CA12+DB12等于( )
A.2(AB2+AD2+AA12)
B.3(AB2+AD2+AA12)
C.4(AB2+AD2+AA12)
D.4(AB2+AD2)
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