【題目】如圖所示,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分別是棱DD1、C1D1的中點(diǎn). (Ⅰ)證明:平面ADC1B1⊥平面A1BE;
(Ⅱ)證明:B1F∥平面A1BE;
(Ⅲ)若正方體棱長為1,求四面體A1﹣B1BE的體積.
【答案】(Ⅰ)證明:∵ABCD﹣A1B1C1D1為正方體,
∴B1C1⊥平面ABB1A1;
∵A1B平面ABB1A1,
∴B1C1⊥A1B.
又∵A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1,
∴A1B⊥平面ADC1B1,
∵A1B平面A1BE,
∴平面ADC1B1⊥平面A1BE;
(Ⅱ)證明:連接EF,EF∥ ,且EF= ,
設(shè)AB1∩A1B=O,
則B1O∥C1D,且 ,
∴EF∥B1O,且EF=B1O,
∴四邊形B1OEF為平行四邊形.
∴B1F∥OE.
又∵B1F平面A1BE,OE平面A1BE,
∴B1F∥平面A1BE,
(Ⅲ)解: = = = = .
【解析】(Ⅰ)由正方體可得:B1C1⊥平面ABB1A1,B1C1⊥A1B.又A1B⊥AB1,可得A1B⊥平面ADC1B1,即可證明.(Ⅱ)證明:連接EF,利用三角形中位線定理可得四邊形B1OEF為平行四邊形.可得B1F∥OE.即可證明B1F∥平面A1BE,(Ⅲ)利用 = = 即可得出.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行,以及對平面與平面垂直的判定的理解,了解一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,且 .
(1)試求 的值;
(2)用定義證明函數(shù) 在 上單調(diào)遞增;
(3)設(shè)關(guān)于 的方程 的兩根為 ,試問是否存在實(shí)數(shù) ,使得不等式 對任意的 及 恒成立?若存在,求出 的取值范圍;若不存在說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司有A、B兩個(gè)景點(diǎn),位于一條小路(直道)的同側(cè),分別距小路 km和2 km,且A、B景點(diǎn)間相距2 km,今欲在該小路上設(shè)一觀景點(diǎn),使兩景點(diǎn)在同時(shí)進(jìn)入視線時(shí)有最佳觀賞和拍攝效果,則觀景點(diǎn)應(yīng)設(shè)于____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C1 , 拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上,C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O,從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn),其坐標(biāo)分別是(3,一2 ),(一2,0),(4,一4),( ). (Ⅰ)求C1 , C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)是否存在直線L滿足條件:①過C2的焦點(diǎn)F;②與C1交與不同的兩點(diǎn)M,N且滿足 ?若存在,求出直線方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若將函數(shù)y=sinx+ cosx的圖象向右平移φ(φ>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y=sinx﹣ cosx的圖象,則φ的最小值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為 ,(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為 ,(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡為曲線C.
(1)寫出C的普通方程;
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:ρ(cosθ+sinθ)﹣ =0,M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l1:(a-1)x+y+b=0,l2:ax+by-4=0,求滿足下列條件的a,b的值.
(1)l1⊥l2,且l1過點(diǎn)(1,1);
(2)l1∥l2,且l2在第一象限內(nèi)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高中為了解高中學(xué)生的性別和喜歡打籃球是否有關(guān),對50名高中學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
喜歡打籃球 | 不喜歡打籃球 | 合計(jì) | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合計(jì) |
已知在這50人中隨機(jī)抽取1人,抽到喜歡打籃球的學(xué)生的概率為
(Ⅰ)請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
(Ⅱ)判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡打籃球與性別有關(guān)?
附:K2=
p(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校大一新生中的6名同學(xué)打算參加學(xué)校組織的“演講團(tuán)”、“吉他協(xié)會(huì)”等五個(gè)社團(tuán),若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加,則這6個(gè)人中沒有人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為( )
A.3600
B.1080
C.1440
D.2520
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