Question

(1)如圖所示，證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線(xiàn)，b是π外的一條直線(xiàn)(b不垂直于π)，c是直線(xiàn)b在π上的投影，若a⊥b，則a⊥c”為真．

(2)寫(xiě)出上述命題的逆命題，并判斷其真假(不需證明)．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）逆命題為：a是平面π內(nèi)的一條直線(xiàn)，b是π外的一條直線(xiàn)(b不垂直于π)，c是直線(xiàn)b在π上的投影，若a⊥c，則a⊥b.真命題

(1)記c∩b＝A，P為直線(xiàn)b上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過(guò)P作PO⊥π，垂足為O，則O∈c.
因?yàn)?i>PO⊥π，a?π，
所以直線(xiàn)PO⊥a.
又a⊥b，b?平面PAO，PO∩b＝P，
所以a⊥平面PAO.
又c?平面PAO，
所以a⊥c.
(2)逆命題為：a是平面π內(nèi)的一條直線(xiàn)，b是π外的一條直線(xiàn)(b不垂直于π)，c是直線(xiàn)b在π上的投影，若a⊥c，則a⊥b.逆命題為真命題．