如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).

(1)求證:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角CPBA的余弦值.
(1)見(jiàn)解析(2)
(1)由AB是圓的直徑,得ACBC
PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,得PABC.
PAACA,PA?平面PAC,AC?平面PAC
所以BC⊥平面PAC.
因?yàn)?i>BC?平面PBC,
所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)過(guò)CCMAP,則CM⊥平面ABC.
如圖,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線CBCA、CMx軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

在Rt△ABC中,因?yàn)?i>AB=2,AC=1,所以BC.
因?yàn)?i>PA=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1).故=(,0,0),=(0,1,1).
設(shè)平面BCP的法向量為n1=(x1,y1,z1),則所以
不妨令y1=1,則n1=(0,1,-1).因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034811203391.png" style="vertical-align:middle;" />=(0,0,1),=(,-1,0),
設(shè)平面ABP的法向量為n2=(x2,y2z2),則所以 
不妨令x2=1,則n2=(1,,0).于是cos〈n1,n2〉=.
由題圖可判斷二面角為銳角,所以二面角CPBA的余弦值為.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(1)如圖所示,證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線,bπ外的一條直線(b不垂直于π),c是直線bπ上的投影,若ab,則ac”為真.

(2)寫(xiě)出上述命題的逆命題,并判斷其真假(不需證明).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,斜四棱柱的底面是矩形,平面⊥平面,分別為的中點(diǎn).

求證:
(1);(2)∥平面.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在矩形中,點(diǎn)為邊上的點(diǎn),點(diǎn)為邊的中點(diǎn),,現(xiàn)將沿邊折至位置,且平面平面.

(1) 求證:平面平面;
(2) 求四棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn),a,b表示兩條直線,α,β表示兩個(gè)平面,給出下列命題,其中正確的命題是(  )
①P∈a,P∈α⇒a?α;
②a∩b=P,b?β⇒a?β;
③a∥b,a?α,P∈b,P∈α⇒b?α;
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.
A.①②B.②③C.①④D.③④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

設(shè)a,b為空間的兩條直線,α,β為空間的兩個(gè)平面,給出下列命題:
①若a∥α,a∥β,則α∥β;②若a⊥α,α⊥β,則α⊥β;
③若a∥α,b∥α,則a∥b; ④若a⊥α,b⊥α,則a∥b.
上述命題中,所有真命題的序號(hào)是________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

下列四個(gè)正方體中,AB為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出直線AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是________(寫(xiě)出所有符合要求的圖形序號(hào)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

下列四個(gè)結(jié)論:
⑴兩條不同的直線都和同一個(gè)平面平行,則這兩條直線平行.
⑵兩條不同的直線沒(méi)有公共點(diǎn),則這兩條直線平行.
⑶兩條不同直線都和第三條直線垂直,則這兩條直線平行.
⑷一條直線和一個(gè)平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線沒(méi)有公共點(diǎn),則這條直線和這個(gè)平面平行.
其中正確的個(gè)數(shù)為(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

對(duì)于平面,和直線,,,下列命題中真命題是              (   )
A.若,則
B.若;
C.若,則
D.若,則.

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