已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a,且不等式f(x)>2x的解集為(-1,3).
(1)若函數(shù)g(x)=xf(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=-1時(shí),證明方程f(x)=2x3-1僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根;
(3)當(dāng)x∈[0,1]時(shí),試討論|f(x)+(2a-1)x+3a+1|≤3成立的充要條件.
(1)(-∞,-1](2)見(jiàn)解析(3)-5≤a<0
(1)∵f(x)-2x>0的解集為(-1,3),
∴可設(shè)f(x)-2xa(x+1)(x-3),且a<0,
因而f(x)=a(x+1)(x-3)+2xax2+2(1-a)x-3a                         
g(x)=xf(x)=ax3+2(1-a)x2-3ax,
g(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,
g′(x)=3ax2+4(1-a)x-3a上的函數(shù)值非正,
由于a<0,對(duì)稱軸x>0,故只需ga(1-a)-3a≤0,注意到a<0,∴a2+4(1-a)-9≥0,得a≤-1或a≥5(舍去).
故所求a的取值范圍是(-∞,-1].
(2)a=-1時(shí),方程f(x)=2x3-1僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,即證方程2x3x2-4x-4=0僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根.令h(x)=2x3x2-4x-4,由h′(x)=6x2+2x-4=0,得x1=-1,x2,易知h(x)在(-∞,-1),上遞增,在上遞減,h(x)的極大值h(-1)=-1<0,故函數(shù)h(x)的圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn),∴a=-1時(shí),方程f(x)=2x3-1僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,得證.
(3)設(shè)r(x)=f(x)+(2a-1)x+3a+1=ax2x+1,r(0)=1,對(duì)稱軸為x=-,
由題意,得 
解出-5≤a<0,
故使|f(x)+(2a-1)x+3a+1|≤3成立的充要條件是-5≤a<0
練習(xí)冊(cè)系列答案
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對(duì)于函數(shù),若都是某一三角形的三邊長(zhǎng),則稱為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”.以下說(shuō)法正確的是(   )
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C.是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”;
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A.B.
C.D.

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A.1B.2C.3D.4

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