【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明: .

【答案】(1)(2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析:()先代入,對(duì)求導(dǎo)數(shù),再算出, ,進(jìn)而可得曲線在點(diǎn)處的切線方程;()先構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)可得的最小值,,進(jìn)而可證當(dāng)時(shí),

試題解析:()解:當(dāng)時(shí), ,

所以

所以.

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

.

)證法一:當(dāng)時(shí), .

要證明,只需證明.

以下給出三種思路證明.

思路1:設(shè),則.

設(shè),則,

所以函數(shù) 上單調(diào)遞增

因?yàn)?/span>,

所以函數(shù)上有唯一零點(diǎn),且

因?yàn)?/span>時(shí),所以,即

當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),

所以當(dāng)時(shí), 取得最小值

綜上可知,當(dāng)時(shí), .

思路2:先證明

設(shè),則

因?yàn)楫?dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.

所以

所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).

所以要證明,

只需證明

下面證明

設(shè),則

當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí),

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.

所以

所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).

由于取等號(hào)的條件不同,

所以

綜上可知,當(dāng)時(shí), .

(若考生先放縮,或、同時(shí)放縮,請(qǐng)參考此思路給分。

思路3:先證明.

因?yàn)榍與曲線的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),

設(shè)直線 與曲線分別交于點(diǎn), ,點(diǎn), 到直線

的距離分別為, ,

其中,

設(shè) ,則

因?yàn)?/span>,所以

所以上單調(diào)遞增,則

所以

設(shè) ,則

因?yàn)楫?dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,

所以當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增.

所以

所以

所以

綜上可知,當(dāng)時(shí), .

證法二:因?yàn)?/span>,

要證明,只需證明.

以下給出兩種思路證明.

思路1:設(shè),則.

設(shè),則

所以函數(shù) 上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>,

所以函數(shù)上有唯一零點(diǎn),且.

因?yàn)?/span>,所以,即

當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .

所以當(dāng)時(shí), 取得最小值

綜上可知,當(dāng)時(shí),

思路2:先證明,且

設(shè),則

因?yàn)楫?dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí), 取得最小值

所以,即(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).

,得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).

所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).

再證明

因?yàn)?/span>, ,且不同時(shí)取等號(hào),

所以

綜上可知,當(dāng)時(shí),

練習(xí)冊(cè)系列答案
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注:表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表,圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.

產(chǎn)品重量(克)

頻數(shù)

6

8

14

8

4

(1)根據(jù)上面表1中的數(shù)據(jù)在圖2中作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖;

(2)若以頻率作為概率,試估計(jì)從兩條流水線上分別任取1件產(chǎn)品,該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少;

(3)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并回答有多大的把握認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān).

甲流水線

乙流水線

合計(jì)

合格

不合格

合計(jì)

參考公式:,其中

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】為了研究經(jīng)常使用手機(jī)是否對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有影響,某校高二數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了調(diào)查,隨機(jī)抽取高二年級(jí)50名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)單元測(cè)試成績(jī),并制成下面的2×2列聯(lián)表:

及格

不及格

合計(jì)

很少使用手機(jī)

20

5

25

經(jīng)常使用手機(jī)

10

15

25

合計(jì)

30

20

50

則有( 。┑陌盐照J(rèn)為經(jīng)常使用手機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有影響.

參考公式:,其中

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

A.97.5%B.99%C.99.5%D.99.9%

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③若為銳角三角形,則有;

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的充分必要條件.

其中正確的命題是______.(填序號(hào))

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