已知圓的方程為,過點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為、,直線恰好經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)是橢圓垂直于軸的一條弦,所在直線的方程為是橢圓上異于的任意一點(diǎn),直線分別交定直線于兩點(diǎn)、,求證.

(Ⅰ)  (Ⅱ)聯(lián)立方程組表示出向量,再證.

解析試題分析:(Ⅰ) 觀察知,是圓的一條切線,切點(diǎn)為,
設(shè)為圓心,根據(jù)圓的切線性質(zhì),
所以, 所以直線的方程為.
軸相交于,依題意,所求橢圓的方程為 
(Ⅱ) 橢圓方程為,設(shè)
則有
在直線的方程中,令,整理得
           ①
同理,     ②
②,并將代入得
 
===.
=   
,∴

考點(diǎn):直線與圓錐曲線的關(guān)系;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查學(xué)生的運(yùn)算能力、分析問題解決問題的能力,難度較大.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知拋物線C:與橢圓共焦點(diǎn),

(Ⅰ)求的值和拋物線C的準(zhǔn)線方程;
(Ⅱ)若P為拋物線C上位于軸下方的一點(diǎn),直線是拋物線C在點(diǎn)P處的切線,問是否存在平行于的直線與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且使?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在等腰直角中,,,點(diǎn)在線段上.

(Ⅰ) 若,求的長;
(Ⅱ)若點(diǎn)在線段上,且,問:當(dāng)取何值時(shí),的面積最小?并求出面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

分別求適合下列條件圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)焦點(diǎn) 為、且過點(diǎn)橢圓;
(2)與雙曲線有相同的漸近線,且過點(diǎn)的雙曲線.

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已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn),滿足.點(diǎn)是線段與該橢圓的交點(diǎn),點(diǎn)T是的中點(diǎn).

(Ⅰ)設(shè)為點(diǎn)的橫坐標(biāo),證明;
(Ⅱ)求點(diǎn)T的軌跡的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C:的一個(gè)焦點(diǎn)為,為橢圓C上一點(diǎn),的面積為
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在平行于OM的直線,使得直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知點(diǎn)是直線被橢圓所截得的線段中點(diǎn),求直線的方程。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為幾點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線上兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為,圓的參數(shù)方程(為參數(shù)).
(Ⅰ)設(shè)為線段的中點(diǎn),求直線的平面直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)判斷直線與圓的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,過拋物線>0)的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦OA、OB。

⑴設(shè)OA的斜率為k,試用k表示點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
⑵求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程。

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同步練習(xí)冊(cè)答案