（2013•江門一模）已知橢圓C的中心在原點O，離心率e=
3
2
，右焦點為F(
3
，0)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓的上頂點為A，在橢圓C上是否存在點P，使得向量
OP
+
OA
與
FA
共線？若存在，求直線AP的方程；若不存在，簡要說明理由．
分析：（1）設橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，由離心率焦點坐標可得及
c
a
=
3
2
，c=
3
，再根據(jù)a2=b2+c2，聯(lián)立方程組解出即可；
（2）假設橢圓C上是存在點P（x0，y0），使得向量
OP
+
OA
與
FA
共線，由向量共線及點P在橢圓上得方程組，解出可得點P坐標，進而可求得直線AP方程；
解答：解：（1）設橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，
∵橢圓C的離心率e=
3
2
，右焦點為F(
3
，0)，∴
c
a
=
3
2
，c=
3
，
∵a2=b2+c2，∴a=2，b=1，c=
3
，
故橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1．       
（2）假設橢圓C上是存在點P（x0，y0），使得向量
OP
+
OA
與
FA
共線，
∵
OP
+
OA
=(x0，y0+1)，
FA
=(-
3
，1)，∴
x0
-
3
=
y0+1
1
，即x0=-
3
(y0+1)，（1）
又∵點P（x0，y0）在橢圓
x2
4
+y2=1上，∴
x02
4
+y02=1（2），
由（1）、（2）組成方程組解得
x0=0
y0=-1
，或
x0=-
8
3
7
y0=
1
7
，
∴P（0，-1），或P(-
8
3
7
，
1
7
)，
當點P的坐標為（0，-1）時，直線AP的方程為x=0，
當點P的坐標為P(-
8
3
7
，
1
7
)時，直線AP的方程為
3
x-4y+4=0，
故橢圓上存在滿足條件的點P，直線AP的方程為x=0或
3
x-4y+4=0．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解及向量共線問題，考查學生分析問題解決問題的能力．
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2
3
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2
2
．

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x-
1
1600
x20≤x≤480
7
10
x480＜x≤600
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1
2
+…+
1
n
，試判斷數(shù)列{bn}是否有上界．

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