Question

（2013•江門一模）（1）證明：對?x＞0，lnx≤x-1；
（2）數(shù)列{a_n}，若存在常數(shù)M＞0，?n∈N^*，都有a_n＜M，則稱數(shù)列{a_n}有上界．已知bn=1+

1

2

+…+

1

n

，試判斷數(shù)列{b_n}是否有上界．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)g（x）=lnx-（x-1）=lnx-x+1，利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，得出g（x）在x=1處取最大值，即可證得結(jié)論；
（2）假設(shè)x-1=

1

n

，從而得出x=1+

1

n

，由（1）得ln(1+

1

n

)≤

1

n

，即

1

n

≥ln

n+1

n

，再利用?M＞0，取n為任意一個不小于e^M的自然數(shù)，則bn=ln(n+1)＞lneM=M，從而得出數(shù)列{b_n}無上界．

解答：證：（1）設(shè)g（x）=lnx-（x-1）=lnx-x+1，?x＞0.g/(x)=

1

x

-1…（1分），
解g′（x）=0得x=1…（2分）．
當(dāng)0＜x＜1時，g/(x)=

1

x

-1＞0，g（x）單調(diào)遞增…（3分）；
當(dāng)x＞1時，g/(x)=

1

x

-1＜0，g（x）單調(diào)遞減…（4分），
所以g（x）在x=1處取最大值，即?x＞0，g（x）≤g（1）=ln1-1+1=0，lnx≤x-1…（6分）
（2）數(shù)列{b_n}無上界…（7分）?n∈N^*，設(shè)x-1=

1

n

…（8分），x=1+

1

n

，
由（1）得ln(1+

1

n

)≤

1

n

，

1

n

≥ln

n+1

n

…（10分），
所以bn=1+

1

2

+…+

1

n

≥ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1）…（13分），
?M＞0，取n為任意一個不小于e^M的自然數(shù)，
則bn=ln(n+1)＞lneM=M，數(shù)列{b_n}無上界…（14分）．

點評：本題主要考查全稱命題、數(shù)列的通項公式在求解中的應(yīng)用，及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．