Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點.

(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明：AR∥FQ；

(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可知 ，設 且 ，求出點 的坐標，求出方程，得到 ，進而寫出直線的斜率為 ，直線的斜率為 利用 ，即可證明；

（Ⅱ）設直線與軸的交點為，利用 的面積是的面積的兩倍，求出的坐標，由kAB＝kDE可得＝ (x≠1).討論即可得到 中點的軌跡方程．

試題解析：

(1)證明　由題意可知F，

設l1：y＝a，l2：y＝b，且ab≠0，A，B，P，Q，

R.記過A，B兩點的直線為l，

則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0.

因為點F在線段AB上，所以ab＋1＝0，

記直線AR的斜率為k1，直線FQ的斜率為k2，

所以k1＝，k2＝＝－b，

又因為ab＋1＝0，

所以k1＝＝＝＝＝－b，

所以k1＝k2，即AR∥FQ.

(2)解　設直線AB與x軸的交點為D(x1，0)，

所以S△ABF＝|a－b|FD＝|a－b|，

又S△PQF＝，所以由題意可得S△PQF＝2S△ABF

即：＝2××|a－b|·，

解得x1＝0(舍)或x1＝1.

設滿足條件的AB的中點為E(x，y).

當AB與x軸不垂直時，

由kAB＝kDE可得＝ (x≠1).

又＝，所以y2＝x－1(x≠1).

當AB與x軸垂直時，E與D重合，

所以，所求軌跡方程為y2＝x－1.