Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a。
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，若函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在［1，3］上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調(diào)性？若存在，求出m的值，若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）由a=0，f（x）≥h（x）可得-mlnx≥-x，即
記，則f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立等價(jià)于
求得
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
故在x=e處取得極小值，也是最小值，即
故；
（2）函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在［1，3］上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程x-2lnx=a
在［1，3］上恰有兩個(gè)相異實(shí)根。
令g（x）=x-2lnx，則
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
g（x）在[1，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)
故
又g（1）=1，g（3）=3-2ln3
∵g（1）>g（3）
∴只需g（2）＜a≤g（3）
故a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3]；
（3）存在m=，使得函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調(diào)性

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
若，則
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，不合題意
若，由可得2x²-m>0，解得x＞或x＜-（舍去）
故時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0， ）
而h（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，），單調(diào)遞增區(qū)間是（，+∞）
故只需
解之得m=
即當(dāng)m=時(shí)，函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在其公共定義域上具有相同的單調(diào)性。