Question

已知．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí),求證：

Answer 1

（1）函數(shù)在區(qū)間（0,1）上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)；（2）；（3）詳見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)在各區(qū)間上的符號(hào)可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

（2）由（1）可知，函數(shù)有最大值，而有最小值，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解等價(jià)于，由此可求的取值范圍。

（3）由（1）可知，，所以即，由此可得

，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化可證。

試題解析：（1）

∴當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí), ；

∴函數(shù)在區(qū)間（0,1）上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù) 4分

（2）由（1）得的極大值為,令,

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,

又因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032606055064447986/SYS201503260606131451286158_DA/SYS201503260606131451286158_DA.026.png">有實(shí)數(shù)解,那么,即,

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：． 8分

（3）∵函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù),而,

∴,即

即,而,

∴結(jié)論成立． 12分．

考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)證明不等式。