(2011•西城區(qū)一模)已知拋物線y2=4x的焦點為F,直線l過點M(4,0).
(Ⅰ)若點F到直線l的距離為
3
,求直線l的斜率;
(Ⅱ)設(shè)A,B為拋物線上兩點,且AB不與x軸重合,若線段AB的垂直平分線恰過點M,求證:線段AB中點的橫坐標(biāo)為定值.
分析:(Ⅰ)設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),由已知,拋物線C的焦點坐標(biāo)為(1,0),因為點F到直線l的距離為
3
,所以
|3k|
1+k2
=
3
,由此能求出直線l的斜率.
(Ⅱ)設(shè)線段AB中點的坐標(biāo)為N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),因為AB不垂直于x軸,所以直線MN的斜率為
y0
x0-4
,直線AB的斜率為
4-x0
y0
,直線AB的方程為y-y0=
4-x0
y0
(x-x0)
,由此能夠證明線段AB中點的橫坐標(biāo)為定值.
解答:解:(Ⅰ)由已知,x=4不合題意.設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),
由已知,拋物線C的焦點坐標(biāo)為(1,0),…(1分)
因為點F到直線l的距離為
3
,
所以
|3k|
1+k2
=
3
,…(3分)
解得k=±
2
2
,所以直線l的斜率為±
2
2
.…(5分)
(Ⅱ)設(shè)線段AB中點的坐標(biāo)為N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
因為AB不垂直于x軸,
則直線MN的斜率為
y0
x0-4
,
直線AB的斜率為
4-x0
y0
,…(7分)
直線AB的方程為y-y0=
4-x0
y0
(x-x0)
,…(8分)
聯(lián)立方程
y-y0=
4-x0
y0
(x-x0)
y2=4x

消去x得(1-
x0
4
)y2-y0y+
y
2
0
+x0(x0-4)=0
,…(10分)
所以y1+y2=
4y0
4-x0
,…(11分)
因為N為AB中點,
所以
y1+y2
2
=y0
,即
2y0
4-x0
=y0
,…(13分)
所以x0=2.即線段AB中點的橫坐標(biāo)為定值2.…(14分)
點評:本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程,簡單幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,拋物線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.本題的易錯點是計算量大,容易出錯.
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