Question

已知兩定點(diǎn)A（-2，0）和B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在直線l：y=x+3上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為（　�。�

• A、

  2

  26

• B、

  4

  26

• C、

  2

  13

• D、

  4

  13

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意知，要使橢圓C的離心率取最大值，則a取最小值．即|PA|+|PB|取最小值．利用點(diǎn)的對(duì)稱性求出|PA|+|PB|的最小值即可解答本題．

解答：解：由題意得，
2c=|AB|=4．
∴c=2．
2a=|PA|+|PB|．
當(dāng)a取最小值時(shí)，橢圓C的離心率有最大值．
設(shè)點(diǎn)A（-2，0）關(guān)于直線l：y=x+3的對(duì)稱點(diǎn)為A′（x，y）．
則

y x+2 =-1 y 2 = x-2 2 +3

．
解得，

x=-3 y=1

．
∴A′（-3，1）．
則|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|．
∴2a≥|A′B|=

26

．
∴當(dāng)a=

26

2

時(shí)，橢圓有最大離心率．
此時(shí)，

c

a

=

4

26

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的基本性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值等知識(shí)，屬于中檔題．