【題目】如圖，在直三棱柱中，分別為，的中點，，.

（1）求證：；

（2）若直線和平面所成角的正弦值等于，求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由線線垂直，證明線面垂直，即平面，再證明

（2）以點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，通過法向量之間的夾角余弦值，得到二面角的正弦值.

（1）在直三棱柱中，平面,

，

又，且，平面，，

∴平面，又∵平面，

∴.

（2）以點為坐標(biāo)原點，分別以，，為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，，，，，

直線的方向向量，

平面的法向量，

可知，∴，

，，，

設(shè)平面的一個法向量，∴取，

設(shè)平面的一個法向量，∴取，

記二面角的平面角為，，∴，

∴二面角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了調(diào)查高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間之間的相關(guān)關(guān)系，新苗中學(xué)數(shù)學(xué)教師對新入學(xué)的名學(xué)生進行了跟蹤調(diào)查，其中每周自主做數(shù)學(xué)題的時間不少于小時的有人，余下的人中，在高三模擬考試中數(shù)學(xué)成績不足分的占，統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表：

分?jǐn)?shù)大于等于分

分?jǐn)?shù)不足分

合計

周做題時間不少于小時

4

19

周做題時間不足小時

合計

45

（）請完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間有關(guān)”．

（）（i）按照分層抽樣的方法，在上述樣本中，從分?jǐn)?shù)大于等于分和分?jǐn)?shù)不足分的兩組學(xué)生中抽取名學(xué)生，設(shè)抽到的不足分且周做題時間不足小時的人數(shù)為，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）．

（ii）若將頻率視為概率，從全校大于等于分的學(xué)生中隨機抽取人，求這些人中周做題時間不少于小時的人數(shù)的期望和方差．

附：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，，E，F為AB的三等分點，且將和分別沿DE、CF折起到A、B兩點重合，記為點P．

證明：平面平面PEF；

若，求PD與平面PFC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.滿足2acosC+bcosC+ccosB=0.

(Ⅰ)求角C的大小；

(Ⅱ)若a=2,△ABC的面積為，求C的大小。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司培訓(xùn)員工某項技能，培訓(xùn)有如下兩種方式：

方式一：周一到周五每天培訓(xùn)1小時，周日測試

方式二：周六一天培訓(xùn)4小時，周日測試

公司有多個班組，每個班組60人，現(xiàn)任選兩組記為甲組、乙組先培訓(xùn)；甲組選方式一，乙組選方式二，并記錄每周培訓(xùn)后測試達標(biāo)的人數(shù)如表：

第一周

第二周

第三周

第四周

甲組

20

25

10

5

乙組

8

16

20

16

用方式一與方式二進行培訓(xùn)，分別估計員工受訓(xùn)的平均時間精確到，并據(jù)此判斷哪種培訓(xùn)方式效率更高？

在甲乙兩組中，從第三周培訓(xùn)后達標(biāo)的員工中采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求這2人中至少有1人來自甲組的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為拋物線：的焦點，過的動直線交拋物線于，兩點．當(dāng)直線與軸垂直時，．

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)直線的斜率為1且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點，拋物線上存在點使得直線，，的斜率成等差數(shù)列，求點的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“新車嗨翻天!首付3000元起開新車”這就是毛豆新車網(wǎng)打出來的廣告語．某人看到廣告，興奮不已，計劃于2019年1月在該網(wǎng)站購買一輛某品牌汽車，他從當(dāng)?shù)亓私獾浇鍌�月該品牌汽車實際銷量如表：

月份

2018.08

2018.09

2018.10

2018.11

2018.12

月份編號t

1

2

3

4

5

銷量y（萬輛）

0.5

0.6

1

1.4

1.7

（1）經(jīng)分析，可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撈放破噷嶋H銷量y（萬輛）與月份編號t之間的相關(guān)關(guān)系．請用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程，并估計2019年1月份該品牌汽車的銷量：

（2）為了增加銷量，廠家和毛豆新車網(wǎng)聯(lián)合推出對購該品牌車進行補貼．已知某地擬購買該品牌汽車的消費群體十分龐大，某調(diào)研機構(gòu)對其中的200名消費者的購車補貼金額的心理預(yù)期值進行了一個抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：

補貼金額預(yù)期值

區(qū)間（萬元）

[1，2）

[2，3）

[3，4）

[4，5）

[5，6）

[6，7）

頻數(shù)

20

60

60

30

20

10

將頻率視為概率，現(xiàn)用隨機抽樣方法從該地區(qū)擬購買該品牌汽車的所有消費者中隨機抽取3人，記被抽取3人中對補貼金額的心理預(yù)期值不低于3萬元的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）

參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程，其中，；②．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線l：與橢圓交于A，B兩點，點P是橢圓C上異于A，B的一個動點，點Q在直線AB上，滿足(為坐標(biāo)原點)

（1）求點Q的軌跡方程；

（2）求四邊形OAPB的面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射．已知光線從橢圓的一個焦點出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發(fā)出；如圖，橢圓與雙曲線（，）有公共焦點，現(xiàn)一光線從它們的左焦點出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經(jīng)過次反射后，首次回到左焦點所經(jīng)過的路徑長為______．

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