Question

【題目】已知直線l：與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線AB上，滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn))

（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；

（2）求四邊形OAPB的面積S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2） 最大值12．

【解析】

（1）由條件用Q點(diǎn)坐標(biāo)表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，再代入橢圓方程即可得到Q點(diǎn)的軌跡方程；

（2）由Q的軌跡與直線l有交點(diǎn)，求出k，m的不等關(guān)系，由有，求出的表達(dá)式，然后換元，利用k，m的不等關(guān)系求出新的自變量的范圍，從而可求面積的最大值．

（1）設(shè)，；

由有：，

又點(diǎn)P在橢圓C上，則，即，

所以點(diǎn)Q的軌跡方程：；

（2）設(shè)，，由有，

則消去y可得：，

則，，

又直線l與橢圓有公共點(diǎn)；

所以有：，

，即，

原點(diǎn)到直線l的距離為，又，則，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最大值4，

故S有最大值12．