Question

【題目】已知是定義在上的函數(shù)，如果存在常數(shù)，對區(qū)間的任意劃分：，和式恒成立，則稱為上的“絕對差有界函數(shù)”，注：.

（1）求證：函數(shù)在上是“絕對差有界函數(shù)”；

（2）記集合存在常數(shù)，對任意的，有成立.

求證：集合中的任意函數(shù)為“絕對差有界函數(shù)”；

（3）求證：函數(shù)不是上的“絕對差有界函數(shù)”.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）將整理為，可知在上單調(diào)遞增；可知，從而可將化簡為，從而可知，得到結(jié)論；（2）取，根據(jù)，可得，從而可取得到結(jié)論；（3）取一個劃分：，可將整理為；根據(jù)放縮可知只要足夠大，可使得，從而得到結(jié)論.

（1）

當(dāng)時，

在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)

當(dāng)，時，有，

所以

從而對區(qū)間的任意劃分：

存在，使得成立

綜上，函數(shù)在上是“絕對差有界函數(shù)”

（2）證明：任取

從而對區(qū)間的任意劃分：

和式成立

則可取

所以集合中的任意函數(shù)為“絕對差有界函數(shù)”

（3）取區(qū)間的一個劃分：，

則有：

所以對任意常數(shù)，只要足夠大，就有區(qū)間的一個劃分：

滿足

所以函數(shù)不是的“絕對差有界函數(shù)”