Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，記點(diǎn)M的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）設(shè)斜率為k的直線l過定點(diǎn)P（﹣2，1），求直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)M（x，y），依題意得：|MF|=|x|+1，即 ，

化簡(jiǎn)得，y2=2|x|+2x．

∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為 ；

（2）解：在點(diǎn)M的軌跡C中，記C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．

依題意，可設(shè)直線l的方程為y﹣1=k（x+2）．

由方程組 ，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．

①當(dāng)k=0時(shí)，此時(shí)y=1，把y=1代入軌跡C的方程，得 ．

故此時(shí)直線l：y=1與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)（ ）．

②當(dāng)k≠0時(shí)，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判別式為△=﹣16（2k2+k﹣1）．

設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為（x0，0），

則由y﹣1=k（x+2），取y=0得 ．

若 ，解得k＜﹣1或k＞ ．

即當(dāng)k∈ 時(shí)，直線l與C1沒有公共點(diǎn)，與C2有一個(gè)公共點(diǎn)，

故此時(shí)直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)．

若 或 ，解得k=﹣1或k= 或 ．

即當(dāng)k=﹣1或k= 時(shí)，直線l與C1只有一個(gè)公共點(diǎn)，與C2有一個(gè)公共點(diǎn)．

當(dāng) 時(shí)，直線l與C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，與C2無公共點(diǎn)．

故當(dāng)k=﹣1或k= 或 時(shí)，直線l與軌跡C恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)．

若 ，解得﹣1＜k＜﹣ 或0＜k＜ ．

即當(dāng)﹣1＜k＜﹣ 或0＜k＜ 時(shí)，直線l與C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，與C2有一個(gè)公共點(diǎn)．

此時(shí)直線l與C恰有三個(gè)公共點(diǎn)．

綜上，當(dāng)k∈ ∪{0}時(shí)，直線l與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)k ∪{﹣1， }時(shí)，直線l與C恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)k∈ 時(shí)，直線l與軌跡C恰有三個(gè)公共點(diǎn)．

【解析】（1）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，直接由題意列等式，整理后即可得到M的軌跡C的方程；（2）設(shè)出直線l的方程為y﹣1=k（x+2），和（1）中的軌跡方程聯(lián)立化為關(guān)于y的一元二次方程，求出判別式，再在直線y﹣1=k（x+2）中取y=0得到 ．然后分判別式小于0、等于0、大于0結(jié)合x0＜0求解使直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍．