【題目】定義在R上的奇函數(shù)滿足,且在[0,1)上單調(diào)遞減,若方程[0,1)上有實(shí)數(shù)根,則方程在區(qū)間[-1,7]上所有實(shí)根之和是

A. 12 B. 14 C. 6 D. 7

【答案】A

【解析】f(2-x)=f(x)知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,

f(x)是R上的奇函數(shù)知f(2-x)=-f(x-2),f(x-4)=-f(4-x)

f(2-x)=f(x)中,以x-2x得:

f(2-(x-2))=f(x-2)即f(4-x)=f(x-2),

所以f(x)=f(2-x)=-f(4-x)=f(x-4)

f(x+4)=f(x),

所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù).

考慮f(x)的一個(gè)周期,例如[-1,3],

f(x)在[0,1)上是減函數(shù)知f(x)在(1,2]上是增函數(shù),

f(x)在(-1,0]上是減函數(shù),f(x)在[2,3)上是增函數(shù).

對于奇函數(shù)f(x)有f(0)=0,f(2)=f(2-2)=f(0)=0,

故當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)<f(0)=0,當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f(x)<f(2)=0,

當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)>f(0)=0,當(dāng)x∈(2,3)時(shí),f(x)>f(2)=0,

方程f(x)=-1[0,1)上有實(shí)數(shù)根,

則這實(shí)數(shù)根是唯一的,因?yàn)?/span>f(x)在(0,1)上是單調(diào)函數(shù),

則由于f(2-x)=f(x),故方程f(x)=-1在(1,2)上有唯一實(shí)數(shù).

在(-1,0)和(2,3)上f(x)>0,

則方程f(x)=-1在(-1,0)和(2,3)上沒有實(shí)數(shù)根.

從而方程f(x)=-1在一個(gè)周期內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

當(dāng)x∈[-1,3],方程f(x)=-1的兩實(shí)數(shù)根之和為x+2-x=2,

當(dāng)x∈[-1,7],方程f(x)=-1的所有四個(gè)實(shí)數(shù)根之和為x+2-x+4+x+4+2-x=2+8+2=12.

故答案為A.

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