【題目】若無窮數(shù)列滿足:只要,必有,則稱具有性質(zhì).
(1)若具有性質(zhì),且, ,求;
(2)若無窮數(shù)列是等差數(shù)列,無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列, , , 判斷是否具有性質(zhì),并說明理由;
(3)設(shè)是無窮數(shù)列,已知.求證:“對任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.
【答案】(1).(2)不具有性質(zhì).(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)已知條件,得到,結(jié)合求解即可.
(2)根據(jù)的公差為, 的公比為,寫出通項公式,從而可得.
通過計算, , , ,即知不具有性質(zhì).
(3)從充分性、必要性兩方面加以證明,其中必要性用反證法證明.
試題解析:(1)因為,所以, , .
于是,又因為,解得.
(2)的公差為, 的公比為,
所以, .
.
,但, , ,
所以不具有性質(zhì).
[證](3)充分性:
當(dāng)為常數(shù)列時, .
對任意給定的,只要,則由,必有.
充分性得證.
必要性:
用反證法證明.假設(shè)不是常數(shù)列,則存在,
使得,而.
下面證明存在滿足的,使得,但.
設(shè),取,使得,則
, ,故存在使得.
取,因為(),所以,
依此類推,得.
但,即.
所以不具有性質(zhì),矛盾.
必要性得證.
綜上,“對任意, 都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在測試中,客觀題難度的計算公式為,其中為第題的難度, 為答對該題的人數(shù), 為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級240名學(xué)生進行一次測試.共5道客觀題.測試前根據(jù)對學(xué)生的了解,預(yù)估了每道題的難度,如表所示:
測試后,隨機抽取了 20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,結(jié)果如下
(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù),估計這240名學(xué)生中第5題的實測答對人數(shù);
(2)從抽取的20名學(xué)生中再隨機抽取2名學(xué)生,記這2名學(xué)生中第5題答對的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)定義統(tǒng)計量,其中為第題的實測難度, 為第題的預(yù)估難度.規(guī)定:若,則稱該次測試的難度預(yù)估合理,否則為不合理.試據(jù)此判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩名同學(xué)準備參加考試,在正式考試之前進行了十次模擬測試,測試成績?nèi)缦拢?/span>
甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133
乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146
(1)畫出甲、乙兩人成績的莖葉圖,求出甲同學(xué)成績的平均數(shù)和方差,并根據(jù)莖葉圖,寫出甲、乙兩位同學(xué)平均成績以及兩位同學(xué)成績的中位數(shù)的大小關(guān)系的結(jié)論;
(2)規(guī)定成績超過127為“良好”,現(xiàn)在老師分別從甲、乙兩人成績中各隨機選出一個,求選出成績“良好”的個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(注:方差,其中為的平均數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中)在點處的切線斜率為1.
(1)用表示;
(2)設(shè),若對定義域內(nèi)的恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)在(2)的前提下,如果,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生的身體狀況,某校隨機抽取了一批學(xué)生測量體重,經(jīng)統(tǒng)計,這批學(xué)生的體重數(shù)據(jù)(單位:千克)全部介于至之間,將數(shù)據(jù)分成以下組,第一組,第二組,第三組,第四組,第五組,得到如圖所示的頻率分布直方圖,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從第、、組中隨機抽取名學(xué)生做初檢.
(Ⅰ)求每組抽取的學(xué)生人數(shù).
(Ⅱ)若從名學(xué)生中再次隨機抽取名學(xué)生進行復(fù)檢,求這名學(xué)生不在同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】老師在四個不同的盒子里面放了4張不同的撲克牌,分別是紅桃,梅花,方片以及黑桃,讓明、小紅、小張、小李四個人進行猜測:
小明說:第1個盒子里面放的是梅花,第3個盒子里面放的是方片;
小紅說:第2個盒子里面飯的是梅花,第3個盒子里放的是黑桃;
小張說:第4個盒子里面放的是黑桃,第2個盒子里面放的是方片;
小李說:第4個盒子里面放的是紅桃,第3個盒子里面放的是方片;
老師說:“小明、小紅、小張、小李,你們都只說對了一半.”則可以推測,第4個盒子里裝的是( )
A. 紅桃或黑桃 B. 紅桃或梅花
C. 黑桃或方片 D. 黑桃或梅花
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市舉行“中學(xué)生詩詞大賽”,分初賽和復(fù)賽兩個階段進行,規(guī)定:初賽成績大于90分的具有復(fù)賽資格,某校有800名學(xué)生參加了初賽,所有學(xué)生的成績均在區(qū)間內(nèi),其頻率分布直方圖如圖.
(Ⅰ)求獲得復(fù)賽資格的人數(shù);
(Ⅱ)從初賽得分在區(qū)間的參賽者中,利用分層抽樣的方法隨機抽取人參加學(xué)校座談交流,那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人?
(Ⅲ)從(Ⅱ)抽取的人中,選出人參加全市座談交流,設(shè)表示得分在區(qū)間中參加全市座談交流的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的奇函數(shù)滿足,且在[0,1)上單調(diào)遞減,若方程在[0,1)上有實數(shù)根,則方程在區(qū)間[-1,7]上所有實根之和是
A. 12 B. 14 C. 6 D. 7
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解今年某校高三畢業(yè)班準備報考飛行員學(xué)生的體重情況,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫出了頻率分布直方圖(如圖),已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1:2:3,其中第2小組的頻數(shù)為15.
(1)求該校報考飛行員的總?cè)藬?shù);
(2)以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計全省的總體數(shù)據(jù),若從全省報考飛行員的同學(xué)中(人數(shù)很多)任選三人,設(shè)表示體重超過65公斤的學(xué)生人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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