Question

（2013•廣東模擬）設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(ωx+φ)(ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)的圖象關(guān)于直線x=

2

3

π對(duì)稱，它的周期是π，則（　�。�

• A．f（x）的圖象過點(diǎn)（0，

  1

  2

  ）
• B．f（x）在[

  π

  12

  ，

  2π

  3

  ]上是減函數(shù)
• C．f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心是（

  5π

  12

  ，0）
• D．將f（x）的圖象向右平移|φ|個(gè)單位得到函數(shù)y=3sinωx的圖象

Answer 1

分析：由題意通過周期與對(duì)稱軸，分別求出ω，與φ，推出函數(shù)的解析式，然后逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng)，判斷正誤即可．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)的周期為π，所以ω=2，又函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

2

3

π對(duì)稱，
所以由f(x)=3sin(2x+φ)(ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)，
可知2×

2

3

π+φ=kπ+

π

2

，φ=kπ-

5π

6

，-

π

2

＜φ＜

π

2

，
所以k=1時(shí)φ=

π

6

．
函數(shù)的解析式為：f(x)=3sin(2x+

π

6

)．當(dāng)x=0時(shí)f（0）=

3

2

，所以A不正確．
當(dāng)

π

12

＜x＜

2π

3

，2x+

π

6

∈[

π

3

，

3π

2

]，函數(shù)不是單調(diào)減函數(shù)，B不正確；
當(dāng)x=

5π

12

時(shí)f（x）=0．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是（

5π

12

，0）正確；
f（x）的圖象向右平移|φ|個(gè)單位得到函數(shù)y=3sin（ωx+φ-ωφ）的圖象，不是函數(shù)y=3sinωx的圖象，D不正確；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．