Question

（2013•廣東模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=x^-1e^x的定義域?yàn)椋?，+∞）．
（1）求函數(shù)f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）設(shè)函數(shù)g(x)=

1

f(x)

，如果x₁≠x₂，且g（x₁）=g（x₂），證明：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析：（1）先求其導(dǎo)函數(shù)，找到其增減區(qū)間即可求函數(shù)f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）先求出函數(shù)g（x）的增減區(qū)間，再利用題中要證的結(jié)論構(gòu)造新函數(shù)F（x）=g（x）-g（2-x），求出新函數(shù)F（x）=g（x）-g（2-x）的增減區(qū)間，把二者相結(jié)合即可證明結(jié)論．

解答：解：（1）f′(x)=

xex-ex

x2

，則x＞1時(shí)，f′（x）＞0；0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0．
所以，函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．（2分）
當(dāng)m≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在[m，m+1]上是增函數(shù)，
此時(shí)f(x)min=f(m)=

em

m

；
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在[m，1]上是減函數(shù)，在[1，m+1]上是增函數(shù)，
此時(shí)f（x）_min=f（1）=e；（6分）
（2）證明：
考察函數(shù)g（x）=xe^-x，g′（x）=（1-x）e^-x
所以g（x）在（-∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，在（1，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．（結(jié)論1）
考察函數(shù)F（x）=g（x）-g（2-x），即F（x）=xe^-x+（x-2）e^x-2
于是F'（x）=（x-1）（e^2x-2-1）e^-x
當(dāng)x＞1時(shí)，2x-2＞0，從而e^2x-2-1＞0，又e^-x＞0，所以F′（x）＞0，從而函數(shù)F（x）在[1，+∞）是增函數(shù)．
又F（1）=e^-1-e^-1=0，所以x＞1時(shí)，有F（x）＞F（1）=0，即g（x）＞g（2-x）．（結(jié)論2）（9分）
若（x₁-1）（x₂-1）=0，由結(jié)論1及g（x₁）=g（x₂），得x₁=x₂=1，與x₁≠x₂矛盾；
若（x₁-1）（x₂-1）＞0，由結(jié)論1及g（x₁）=g（x₂），得x₁=x₂，與x₁≠x₂矛盾；（11分）
若（x₁-1）（x₂-1）＜0，不妨設(shè)x₁＜1，x₂＞1
由結(jié)論2可知，g（x₂）＞g（2-x₂），所以g（x₁）=g（x₂）＞g（2-x₂）．
因?yàn)閤₂＞1，所以2-x₂＜1，又由結(jié)論1可知函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，
所以x₁＞2-x₂，即x₁+x₂＞2．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題的第一問(wèn)主要考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，比較基礎(chǔ)，第二問(wèn)就比較難，適合中上等學(xué)生來(lái)做．