Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)x∈[0，π]時，f(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(參考數(shù)據(jù)：sin1≈0.84)

（2）當(dāng)a=1時，數(shù)列{an}滿足：0<an<1，=f(an)，求證：{an}是遞減數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

求導(dǎo)，，分，， 三種情況討論求解.

（2）要證{an}是遞減數(shù)列.即證，由a=1，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法證明即可.

因為，所以，

設(shè)，

當(dāng)時，即時，因為，

所以，而，所以

即f(x)≥0恒成立，

當(dāng)時，，

所以在[0，π]上遞增，而，

所以，所以在[0，π]上遞增，

即成立，

當(dāng)時，，

所以在[0，π]上遞增，

而，

所以存在，有，

當(dāng)時，，遞減，

當(dāng)時，，遞增，

所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為，

而，不成立

綜上：實數(shù)a的取值范圍.

（2）因為a=1，所以，

令，

所以，設(shè)

所以，

所以在上遞增，

而，

所以存在，，

當(dāng)時，，遞減，

當(dāng)時，，遞增，

而，

所以，

即當(dāng)時，，

而，，

所以{an}是遞減數(shù)列.