Question

在平面直角坐標系xOy中，設A（-1，0），B（1，0），C（m，n），且△ABC的周長為2

2

+2．
（1）求證：點C在一個橢圓上運動，并求該橢圓的標準方程；
（2）設直線l：mx+2ny-2=0．
①判斷直線l與（1）中的橢圓的位置關系，并說明理由；
②過點A作直線l的垂線，垂足為H．證明：點H在定圓上，并求出定圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,圓的標準方程,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）依題意，CA+CB=2

2

＞AB=2，根據橢圓的定義知點C的軌跡是以A（-1，0），B（1，0）為焦點，2

2

為長軸的橢圓（不含長軸的兩個端點），由此能求出該橢圓的標準方程．
（2）①直線l與（1）中的橢圓相切．由C（m，n）在橢圓

x2

2

+y2=1上，知

m2

2

+n2=1，由

mx+2my-2=0 x2 2 +y2=1

，得（m²+2n²）x²-4mx+4mx+4（1-n²）=0，從而求出判別式為0，所以直線l與橢圓相切．
②猜想：若點H在定圓P上，則定圓P的方程為：x²+y²=2，再利用直線與直線垂直的關系進行證明．

解答： （1）證明：依題意，CA+CB=2

2

＞AB=2，
根據橢圓的定義知，點C的軌跡是以A（-1，0），B（1，0）為焦點，
2

2

為長軸的橢圓（不含長軸的兩個端點），
∴點C在一個橢圓上運動．…（2分）
設該橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
依題意知，a=

2

，c=1，∴b²=a²-c²=1，
∴該橢圓的標準方程為

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）①解：直線l與（1）中的橢圓相切．
證明如下：
∵C（m，n）在橢圓

x2

2

+y2=1上，∴

m2

2

+n2=1，
由

mx+2my-2=0 x2 2 +y2=1

，得（m²+2n²）x²-4mx+4mx+4（1-n²）=0，…（6分）
判別式△=16m²-16（m²+2n²）（1-n²）
=16m²-16（m²+2-m²）•

m2

2

=0，
∴直線l與（1）中的橢圓相切．…（8分）
②證明：猜想：若點H在定圓P上，
則當點C（0，1）時，H（-1，1）；當點C（0，-1）時，H（-1，-1）；
故圓心P必在x軸上．
當點C（1，

2

2

）時，H（0，

2

）；當點C（1，-

2

2

）時，H（0，-

2

）；
故圓心P必在y軸上．
綜上，圓心P必為坐標原點O，且半徑為

2

，
從而定圓P的方程為：x²+y²=2．…（10分）
證明：過A（-1，0）與直線l：mx+2ny-2=0的垂直的直線l′方程為：
y=

2n

m

(x+1)，
聯立直線l與直線l′的方程，解得

xH= 2(m-2n2) m2+4n2 yH= 2(m+2)n m2+4n2

，…（12分）
從而OH²=[

2(m-2n2)

m2+4n2

]²+[

2(n+2)n

m2+4n2

]²，其中2n²=2-m²，
=

4(m-2n2)2+4(m+2)2n2

(m2+4n2)2

=

4(m+m2-2)2+2(m+2)2(2-m2)

(m2+4-2m2)2

=

4(m-1)2(m+2)2+2(m+2)2(2-m)2

(m+2)2(m-2)2

=

2(m+2)2(m2-4m+4)

(m+2)2(m-2)2

=2，
∴點H在定圓x²+y²=2上．…（16分）

點評：本題考查動點在橢圓上運動的證明，考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的判斷，考查點在定圓上的證明，考查圓的方程的求法，解題時要注意函數與方程思想的合理運用．